Dérive.

C'est déjà fait, j'ai étudier les variations

Il faut identifier la dérivée de cette fonction à une dérivée connue, ainsi les fonctions seront les mêmes à une constante près.
Ou bien faire un changement de variable

Je trouve une dérivée de -1/1+x²
c'est donc la dérivée de -arctan(x)
donc -arctan(x)=f(x) ?

Bonsoir !
Tu penses que deux fonctions ayant même dérivée sont égales ?

Bonsoir, non effectivement ce n'est pas forcément vrai! J'ai essayer d'étudier la dérivée sur ]-inf;-1 [ puis ]-1;+inf[, mais je n'arrive pas à faire le lien pour simplifier f(x)...

Il manque une constante qui doit être ajouté à la fonction  - arctan(x)  pour qu'elle soit égale à la fonction donnée.
Pour  x > - 1, il suffit de faire  x = 0 pour voir qu'il faut ajouter  /4  à  - arctan(x).
Quand  x  traverse en diminuant la valeur  - 1 , la fonction donnée subit un décrochement de    vers le bas.
Pour  x < - 1 , il faut donc ajouter  /4 - = - 3/4  à  - arctan(x) .

Je suis d'accord pour le premier cas mais je ne comprends rien pour le decrochement dans le deuxième cas ...

Quand  x  passe, en décroissant, par  - 1 , l'expression  (1 - x)/(1 + x) que contient la fonction donnée passe brusquement de  + oo  à  - oo , cette fonction passant alors
de  +  /2  à  - /2.
C'est ce qui explique le décrochementt de    qui affecte ladite fonction à cet endroit.

Bonjour,

Il n'est pas du tout nécessaire de dériver.

Nous pouvons utiliser la fonction réciproque et écrire (1-x)/(1+x) sous forme tangente:

...


Alain

f(x)=arctan((1-x)/(1+x))

f'(x) = 1/(1 + (1-x)²/(1+x)²) * (-1-x-1+x)/(1+x)²

f'(x) = (1+x)²/((1+x)² + (1-x)²) * (-2)/(1+x)²

f'(x) = -2/((1+x)² + (1-x)²)

f'(x) = -2/(1+x²+2x+1+x²-2x)

f'(x) = -2/(2+2x²)

f'(x) = -1/(1+x²)

On intègre --> f(x) = K - arctan(x)

Comme f(x)=arctan((1-x)/(1+x)) est défini sur ]-oo ; -1[ U ]-1 ; +oo[ (intervalle de définition non connexe), on a donc :

f(x) = K1 - arctan(x) pour x dans ]-oo ; -1[

et

f(x) = K2 - arctan(x) pour x dans ]-1 ; +oo[

Avec K1 et K2 des constantes réelles à chercher pour que f(x)=arctan((1-x)/(1+x)) soit respecté.

a) pour l'intervalle  ]-oo ; -1[

lim(x--> -1-) [arctan((1-x)/(1+x))] = arctg(-oo) = -Pi/2
lim(x --> -1) [K1 - arctan(x)] = K1 + Pi/4

-->  -Pi/2 = K1 + Pi/4
K1 = - 3.Pi/4

On a donc f(x) = -3.Pi/4 - arctg(x) sur ]-oo ; -1[


b) pour l'intervalle  ]-1 ; +oo[, par exemple en x = 0, on a :

f(0)=arctan((1)/(1)) = arctan(1) = Pi/4

--> K2 - arctan(0) = Pi/4
K2 = Pi/4

On a donc f(x) = Pi/4 - arctg(x) sur ]-1 ; +oo[
-----
Sauf distraction.  

OUI mais


L'énoncé donné n'imposait pas la dérivation.



Alain

Par la méthode suggérée par alainpaul (je présume)

y = arctan((1-x)/(1+x))

tan(y + k.Pi) = (1-x)/(1+x)

(1+x).tan(y + k.Pi) = 1-x

x(1+tan(y + k.Pi)) = (1-tan(y+k.Pi))

x = (1-tan(y+k.Pi))/(1+tan(y+k.Pi))

x = (tan(Pi/4) - tan(y+k.Pi))/(1 + tan(y+k.Pi))

x = (tan(Pi/4) - tan(y+k.Pi))/(1 + tan(y+k.Pi).tan(Pi/4))

x = tan(Pi/4 - y - k.Pi)

-y - Pi/4 - k.Pi = arctan(x)

y = -arctan(x) - Pi/4 - k.Pi

Reste à trouver les valeurs de k pour x dans ]-oo ; -1[ et x dans ]-1 ; +oo[

a) pour l'intervalle ]-oo ; -1[

lim(x--> -1-) [arctan((1-x)/(1+x))] = arctan(-oo) = -Pi/2

lim(x --> -1-) [-arctan(x) - Pi/4 - k.Pi] = -k.Pi
--> k = 1/2

On a donc f(x) = -arctan(x) - 3.Pi/4 sur ]-oo ; -1[


b) pour l'intervalle ]-1 ; +oo[, par exemple en x = 0, on a :

f(0)=arctan((1)/(1)) = arctan(1) = Pi/4

--> -arctan(0) - Pi/4 - k.Pi = Pi/4
K = -1/2

f(x) = -arctan(x) - Pi/4 + Pi/2 sur ]-1 ; +oo[

f(x) = -arctan(x) + Pi/4 sur ]-1 ; +oo[

Bonjour,

Je trouve plus naturel,si possible,de rester dans le cadre  même;ici la  fonction réciproque.

Pour accrocher les différentes solutions il faut aussi considérer les valeurs 'a', à un tour près, pour lesquelles  ,



Alain

Merci beaucoup aux trois pour vos explications, mais la seule que je ne comprends pas est celle d'Alain...