Salut romu,

à la fin il faut lire ?

Salut greg,

oui désolé une coquille

OK!

Je vais peut-être dire une bêtise, mais j'ai l'impression que c'est strictement impossible!



En effet le théorème de l'élément primitif permet de trouver un élément a tel que .



Son polynôme minimal sur K₀ se décompose dans en produit de monômes unitaires de degré 1, sinon K₀(a) contiendrait des nombres complexes non réels.



Soit (X - u) l'un de ces facteurs.



Alors u appartient à K₀(a), et le degré de K₀(u) sur K₀ est un diviseur de 2ⁿ

(donc un multiple de 2) distinct de 1 et de 2ⁿ, ce qui permet de raisonner par récurrence sur n en concaténant les extensions obtenues entre K₀ et K₀(u) à celles qu'on obtient entre K₀(u) et K₀(a).




Il faut voir si on peut rendre ce raisonnement rigoureux à présent!

Bonjour greg,

mais pour pouvoir appliquer le théorème de l'élément primitif, il faudrait que l'extension   soit séparable, comment le voit-on ici?

Salut romu,

K₀ est de caractéristique 0 en tant que sous-corps de R, donc toutes ses extensions sont séparables.

Par contre je crois que ma démo d'hier n'est pas bonne, dans ma tête était un corps de décomposition du polynôme que j'ai introduit sur , or ce n'est pas le cas!

Par contre, c'ets vraiment impossible: SI [K(x0,y0)/K] est une puissance de 2, alors il existe une suite (k_n) croissantes de corps tel que k0 inclus dans k1... inclus dans k_n et avec [k_(i+1):k_i)]=2.

Sauf erreur, je l'ai vu dans mon cours d'algbre ya un 'ti peu de tempd

Salut,

t'as un sacré cours d'algèbre!

C'est celui de ton prof?

Salut,

Non, bien évidemment. C'est mon cours d'algèbre générale (théorie de Galois en majorité). Il s'intitule "Algèbre corporelle" de Albert Chambert-Loir.

Salut !


je confirme qu'une telle chose n'existe pas. c'est un des résultat de base quand on étudie la constructibilité. je vais essayer d'en retrouver la preuve...

mais sinon tu te complique beaucoup la vie en prenant à chaque fois des extensions engendrer par DEUX element x,y. certe d'un point de vue géométrique c'est logique, mais d'un point de vue purement algébrique ca ne change absolue rien (mis à part embrouiller les choses ^^ )

Bon c'est à peu prés imédiat pour une extension Galoisienne (via les th de Sylow) mais pour le moment je retrouve pas le cas d'une extension quelconque... si ca me revient (ou que je retrouve un cour d'algèbre qui en parle) je le posterai

Oups... moi aussi. Dans mon cours, le résultat démontré est l'analogue sur les groupes... et on ne peut donc pas l'étendre très facilement au cas quelconque! (A moins qu'on soit dans le cas galoisien, mais dans ce cas comme l'a dit Ksilver Sylow règle le problème).

Je cherche aussi, si je trouve quelque chose j'essaieraide poster.

Il est costaud le Poly de Chambert Loir dis donc... enfin si t'es motivé Romu, y a tous les détails sur ton probleme page 97 et suivante :www.math.polytechnique.fr/~chambert/teach/algebre.pdf


enfin j'espère pour eux qu'ils font pas tous ca en cours à l'X... ou alors que ce sont tous des grands fans d'algèbre :p

Pour les paresseux:
Héhé, comme un vrai nigot, j'ai pas lu la démo juste au dessus du lemme.

Ksilver >> C'est vachement bien expliqué quand même! Et en plus ya des exos et tout. Il y a drolement pire comme cours de théorie de Galois... (à peu près tous).

Oui le Poly est tres bien écrit (comme les autres poly de Chambert-Loir d'ailleur). mais c'est Assez enorme pour un coup de théorie de Galois...

Bonjour Ayoub et Ksilver, merci pour ces informations, il y a beaucoup de choses que je ne connais pas comme Silow ou Galois, je vais me documenter.

Les extension pas séparables c'est trés rares.
On dit qu'un corps est parfait si toutes ces extensions sont parfaite, entre autre :
tous les corps de caractéristiques nul sont parfait.
si tu as un corps de caractéristique non nul, alors il est parfait si et seulement si le morphisme de frobeinus x->x^p est surjectif (c'est le cas des corps finit, mais par exemple pas de Fp(X)...)




Et enfin, quand tu as un element dont le polynome minimal n'est pas à racine simple, alors sa dérivé est nul. (ce qui n'est possible que si on est en caractéristique P et que le polynome est un polynome en x^p...)

bref pour trouver des extension non séparable faut aller chercher tres loin, et quand on travaille sur des extension de Q ou d'un corps finit toute les extension sont séparable... (faut faire des extension de Fp(X) pour obtenir des choses non séparable...)

il y a beaucoup de choses que je ne connais pas comme Silow ou Galois>>> pour Galois tu m'étone vraiment la ! qu'est ce qui ta amené à te poser ce genre de question sans faire un peu de théorie de Galois ?? c'est typiquement le genre de chose qu'on étudie que en théorie de galois je crois ^^

labsus : "On dit qu'un corps est parfait si toutes ces extensions sont séparable" et bien sur on parle que d'extension algébrique (sinon séparable veut pas dire grand chose...)

ah oui c'est beaucoup plus clair, merci.

D'ailleur tous ce que je vien de dire ce prouve tres facilement :

si a est racines double de son polynome minimal P, alors a est racine de P' et donc P divise P' (par définition du polynome minimal) ce qui est impossible à moins que P'=0 (car degP' < degP)

c'est donc impossible si on est en caractéristique nul.
si on est en caractéristique non nul, les polynomes de dérivé nul sont exactement les polynome en x^p P=Q(x^p), et si x->x^p est un isomorphisme c'est encore impossible car x^p serait racine de Q, et donc en appliquant la réciproque de x^p au coefcient de Q on trouve un nouveau polynome anulateur de x...

(bien sur j'utilise que x->x^p est un morphisme de corps en caractéristique p)

Pour trouver des extensions non séparables faut pousser un tout petit peu plus cependant (Ksilver vient en effet de nos prouver que les corps classiques de nombres sont parfaits).

Prenons par exemple k=F_p(X) où p est bien évidemment un nombre premier.
Dans k[t] le polynôme P=t^p-X est irréductible (je te laisse vérifier).
Pour autant, notant t₀ une de ces racines (dans la cloture algébrique de k[t] par exemple) on remarque que P se factorise en P=(t-t₀)^p.

Finalement k n'est pas parfait!

Sauf erreur.