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Niveau Maths sup
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Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables

Posté par
henri IV
23-03-08 à 17:00

Bonjour, voici un exercice qui me pose pas mal de problémes...
On me demande de déterminer les extrema globaux de
f(x,y)= (x-y)^3 + 6xy sur D={(x,y)/ -1<y<x<1} (ce sont des inégalités larges!)

Pour cela j'ai déterminé les points critiques qui sont (0,0) et (1/2,-1/2) qui sont dans D
Aprés plusieurs essais j'ai abandonné l'idée d'étudier le signe de f(x,y)-f(x0,y0)...
Et mon profeseur m' a fait remarquer que D était un compact donc pas un ouvert... et qu'il fallait pour résoudre l'exercice comparer les valeurs de f sur les frontiéres de D et aux points critiques...
Mais en fait aprés réflexion je ne vois toujours pas comment obtenir une solution!
Pourriez vous m'éclairer?
Merci.

Posté par
otto
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 17:04

Bonjour,
le maximum est nécessairement atteint sur l'un de ces points:
soit sur la frontière
soit en les points critiques

Tu n'as donc pas à comparer f(x,y) et f(xo,yo).

Pour trouver les extremas sur la frontiere, il suffit de remarquer que
y=1
ou y=-1
donc tu poses y=1 et y=-1 et tu étudies les fonctions de x que tu obtiens.

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 17:09

Et bien j'ai déjà essayé de comparer f(x,y) et f(xo,yo) en étudiant le signe de f(x,y)-f(xo,yo), mais avec ce type de fonction ça devient vite infaisable... à moins que vous n'ayez une méthode efficace à me proposer!

Posté par
otto
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 17:13

Est-ce que tu as lu ce que je t'ai dit ?

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 17:16

Oh pardon! Je devais être distrait...
alors en fait il me suffirait d'étudier les fonctions auquels j'aboutit en me plaçant aux limites?

Posté par
otto
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 17:17

Oui.

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 17:20

C'est à dire pour x=y la fonction 6x² qui admet un minimum en 0
pour y=-1, la fonction (x+1)^3-6x qui admet un minimum en sqrt(2)-1
et pour x=1 la fonction (1-y)^3+6y qui admet un minimum en 1-sqrt(2)

C'est bien cela?

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 17:22

Mais dans ce cas comment conclure?
Puis-je dire que (1/2,-1/2) est un maximum globale car (0,0) ne peut l'être car c'est deja un minimum?

Posté par
perroquet
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 17:43

Bonjour, henri IV

Otto étant déconnecté, je réponds à sa place.
Dans ce type d'exercice, la rédaction est essentielle:

la première chose à écrire, c'est que l'ensemble sur lequel f est définie est un compact (ceci, ton prof te l'a déjà dit).

Ensuite, f étant continue, on peut affirmer que f est bornée et atteint ses bornes. Elle admet donc un minimum et un maximum.

Ensuite, comme otto te l'a écrit, il y a deux possibilités:
soit l'extremum est atteint sur la frontière
soit il est atteint dans l'intérieur de D, et comme f est de classe C^1 sur l'intérieur de D, il est donc atteint en un point critique (parce que c'est un extremum local).

Le seul point critique de f situé dans l'intérieur de D est le point (1/2,-1/2). Le point (0,0) n'est pas dans l'intérieur de D

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:02

D'aprés vos explications j'en conclut donc que (1/2,-1/2) est un extremum global de f sur D.
Mais que faire maintenant de mon étude aux frontiéres? Puis je dire que aux frontiéres j'ai en fait trouvé des extrema locaux?

Posté par
otto
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:09

Bonjour,
aux frontieres on n'a jamais d'extremum local...
Et si tu avais un extremum local le gradient y serait nul.
A la frontiere tu as juste trouvé l'extremum sur la frontiere, mais ca ne représente rien de particulier dans ce cas-ci.

Posté par
perroquet
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:14

Non. Pour le moment, on ne peut rien conclure. Il faut déterminer le maximum et le minimum de f sur la frontière de D, et les comparer à la valeur de f(1/2,-1/2).

La frontière de D est constituée des 3 segments de droite suivants:
x=y,  avec -1\leq x \leq 1
y=-1, avec -1\leq x \leq 1
x=1,  avec -1\leq y \leq 1
Il faut que tu calcules le maximum et le minimum sur chacun de ces segments, et que tu les compares entre eux ainsi qu'à la valeurs de f(1/2,-1/2)

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:16

D'accord donc en bilan je peut dire que (1/2,-1/2) est un extremum global et qu'on a trois extrema sur les frontiéres. C'est cela?

Posté par
perroquet
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:25

Non, je te le répète. Fais le calcul des différents minima et maxima obtenus. Et tu ne retiens que le plus grand maximum et le plus petit minimum

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:26

Oui alors pour chacune des frontiéres j'ai:
x=y,  avec -1<x<1 : min en x=0
y=-1, avec -1<x<1 : min en x=sqrt(2)-1
x=1,  avec -1<x<1 : min en y=1-sqrt(2)

Posté par
perroquet
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:29

Il faut calculer les valeurs des minima obtenus.
Pour x=y=0  f(0,0)=0
Pour y=-1,  x=sqrt(2)-1   f(sqrt(2)-1,-1)= ...

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:33

J'ai donc:
f(1,1-sqrt(2))=f(sqrt(2)-1,-1)=6-4sqrt(2)=0,34
et f(1/2,-1/2)=-1/2

Donc f(0,0)<f(1,1-sqrt(2))=f(sqrt(2)-1,-1)<f(1/2,-1/2)

Puis je en conclure quelque chose?

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:35

Donc le plus grand maximum est f(1/2,-1/2) et le plus grand minimum est f(0,0)!
c'est bien cela?

Posté par
otto
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:38

Il n'y a pas de plus grand maximum ou de plus petit minimum.
Il y'a un maximum et un minimum.

Les autres sont des candidats pour être des max ou des min.

Posté par
perroquet
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:40

Le plus petit minimum est f(1/2,-1/2).
Le plus grand maximum est f(1,1)=f(-1,-1).
Le minimum global de f est atteint en (1/2,-1/2) et vaut -1/2
Le maximum global de f est atteint en (1,1) et en (-1,-1). Il vaut 6

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:40

Ok c'est juste un provléme de vocabulaire...
Ai je bien le résultat suivant?
f(1/2,-1/2) est un maximum global et f(0,0) est un minimum global.

Posté par
otto
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:41

C'est plus qu'un problème de vocabulaire, c'est un problème de compréhension...

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 23-03-08 à 18:43

Oh oui j'avais oublié de considérer les maxima aux limites!

Posté par
henri IV
re : Extrema globaux de fonctions de plusieurs variables 24-03-08 à 09:59

Re-bonjour à tous, dans le même genre d'exercice,j'ai le suivant:
Déterminer les extrema globaux de f(x,y)=\sqrt(x^2+y^2) -y²-1 sur D={(x,y)/x²+y²<9} (inégalité large).
Pour cela j'ai détrerminé les points critiques qui sont (0,1/2) et (0,-1/2)
Puis j'ai étudier sur la frontiére (qui est le cercle de rayon 3 de centre O) les variations des fonctions g=3-y²-1 et h=-3-y²-1 qui respectivement admettent un max en 0 vallant 2 et 4 et un min en  -3 et 3 vallant -7 et -13.
Pour l'instant suis-je sur la bonne voie? Le principe pour la suite est-il le même que pour l'exercice précédent?

Encore Merci pour votre aide!



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