Bonjour, voici un exercice qui me pose pas mal de problémes...
On me demande de déterminer les extrema globaux de
f(x,y)= + 6xy sur D={(x,y)/ -1<y<x<1} (ce sont des inégalités larges!)
Pour cela j'ai déterminé les points critiques qui sont (0,0) et (1/2,-1/2) qui sont dans D
Aprés plusieurs essais j'ai abandonné l'idée d'étudier le signe de f(x,y)-f(x0,y0)...
Et mon profeseur m' a fait remarquer que D était un compact donc pas un ouvert... et qu'il fallait pour résoudre l'exercice comparer les valeurs de f sur les frontiéres de D et aux points critiques...
Mais en fait aprés réflexion je ne vois toujours pas comment obtenir une solution!
Pourriez vous m'éclairer?
Merci.
Bonjour,
le maximum est nécessairement atteint sur l'un de ces points:
soit sur la frontière
soit en les points critiques
Tu n'as donc pas à comparer f(x,y) et f(xo,yo).
Pour trouver les extremas sur la frontiere, il suffit de remarquer que
y=1
ou y=-1
donc tu poses y=1 et y=-1 et tu étudies les fonctions de x que tu obtiens.
Et bien j'ai déjà essayé de comparer f(x,y) et f(xo,yo) en étudiant le signe de f(x,y)-f(xo,yo), mais avec ce type de fonction ça devient vite infaisable... à moins que vous n'ayez une méthode efficace à me proposer!
Oh pardon! Je devais être distrait...
alors en fait il me suffirait d'étudier les fonctions auquels j'aboutit en me plaçant aux limites?
C'est à dire pour x=y la fonction 6x² qui admet un minimum en 0
pour y=-1, la fonction (x+1)^3-6x qui admet un minimum en sqrt(2)-1
et pour x=1 la fonction (1-y)^3+6y qui admet un minimum en 1-sqrt(2)
C'est bien cela?
Mais dans ce cas comment conclure?
Puis-je dire que (1/2,-1/2) est un maximum globale car (0,0) ne peut l'être car c'est deja un minimum?
Bonjour, henri IV
Otto étant déconnecté, je réponds à sa place.
Dans ce type d'exercice, la rédaction est essentielle:
la première chose à écrire, c'est que l'ensemble sur lequel f est définie est un compact (ceci, ton prof te l'a déjà dit).
Ensuite, f étant continue, on peut affirmer que f est bornée et atteint ses bornes. Elle admet donc un minimum et un maximum.
Ensuite, comme otto te l'a écrit, il y a deux possibilités:
soit l'extremum est atteint sur la frontière
soit il est atteint dans l'intérieur de D, et comme f est de classe C^1 sur l'intérieur de D, il est donc atteint en un point critique (parce que c'est un extremum local).
Le seul point critique de f situé dans l'intérieur de D est le point (1/2,-1/2). Le point (0,0) n'est pas dans l'intérieur de D
D'aprés vos explications j'en conclut donc que (1/2,-1/2) est un extremum global de f sur D.
Mais que faire maintenant de mon étude aux frontiéres? Puis je dire que aux frontiéres j'ai en fait trouvé des extrema locaux?
Bonjour,
aux frontieres on n'a jamais d'extremum local...
Et si tu avais un extremum local le gradient y serait nul.
A la frontiere tu as juste trouvé l'extremum sur la frontiere, mais ca ne représente rien de particulier dans ce cas-ci.
Non. Pour le moment, on ne peut rien conclure. Il faut déterminer le maximum et le minimum de f sur la frontière de D, et les comparer à la valeur de f(1/2,-1/2).
La frontière de D est constituée des 3 segments de droite suivants:
x=y, avec
y=-1, avec
x=1, avec
Il faut que tu calcules le maximum et le minimum sur chacun de ces segments, et que tu les compares entre eux ainsi qu'à la valeurs de f(1/2,-1/2)
D'accord donc en bilan je peut dire que (1/2,-1/2) est un extremum global et qu'on a trois extrema sur les frontiéres. C'est cela?
Non, je te le répète. Fais le calcul des différents minima et maxima obtenus. Et tu ne retiens que le plus grand maximum et le plus petit minimum
Oui alors pour chacune des frontiéres j'ai:
x=y, avec -1<x<1 : min en x=0
y=-1, avec -1<x<1 : min en x=sqrt(2)-1
x=1, avec -1<x<1 : min en y=1-sqrt(2)
Il faut calculer les valeurs des minima obtenus.
Pour x=y=0 f(0,0)=0
Pour y=-1, x=sqrt(2)-1 f(sqrt(2)-1,-1)= ...
J'ai donc:
f(1,1-sqrt(2))=f(sqrt(2)-1,-1)=6-4sqrt(2)=0,34
et f(1/2,-1/2)=-1/2
Donc f(0,0)<f(1,1-sqrt(2))=f(sqrt(2)-1,-1)<f(1/2,-1/2)
Puis je en conclure quelque chose?
Il n'y a pas de plus grand maximum ou de plus petit minimum.
Il y'a un maximum et un minimum.
Les autres sont des candidats pour être des max ou des min.
Le plus petit minimum est f(1/2,-1/2).
Le plus grand maximum est f(1,1)=f(-1,-1).
Le minimum global de f est atteint en (1/2,-1/2) et vaut -1/2
Le maximum global de f est atteint en (1,1) et en (-1,-1). Il vaut 6
Ok c'est juste un provléme de vocabulaire...
Ai je bien le résultat suivant?
f(1/2,-1/2) est un maximum global et f(0,0) est un minimum global.
Re-bonjour à tous, dans le même genre d'exercice,j'ai le suivant:
Déterminer les extrema globaux de f(x,y)= -y²-1 sur D={(x,y)/x²+y²<9} (inégalité large).
Pour cela j'ai détrerminé les points critiques qui sont (0,1/2) et (0,-1/2)
Puis j'ai étudier sur la frontiére (qui est le cercle de rayon 3 de centre O) les variations des fonctions g=3-y²-1 et h=-3-y²-1 qui respectivement admettent un max en 0 vallant 2 et 4 et un min en -3 et 3 vallant -7 et -13.
Pour l'instant suis-je sur la bonne voie? Le principe pour la suite est-il le même que pour l'exercice précédent?
Encore Merci pour votre aide!
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