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Extrema liés
Bonjour,
Le prof nous a parlé d'extrema lié à la fin du cours de calcul diff mais ne nous a donné que le théorème de Lagrange qui donne une condition nécessaire pour qu'un point soit un extremum mais nous n'avons pas de condition suffisante donc je ne sais pas comment conclure dans l'étude des extrema liés.
Voici l'exemple donné en cours et sa méthode pour l'étudier:
On cherche les extrema de x²y sur l'ensemble C={(x,y)
² : x²+2y²
6}.
f:²
définie par f(x,y)=x²y est polynomiale donc C
donc en particulier continue.
Sa restriction à C (qui est compact car fermé borné dans ²) admet un maximum (global) et un minimun (global).
Ensuite il sépare l'étude en deux cas:
1er cas: le cas où un tel extremum est réalisé à l'intérieur de C c'est à dire dans l'ensemble U={(x,y)² : x²+2y² < 6}
2eme cas: le cas où cet extremum est réalisé à la frontière de C c'est à dire sur {(x,y)² : x²+2y² = 6}
Donc dans le 1er cas il dit: si un extremum est réalisé en un point (x0,y0) de U, alors la différentielle de f(x,y) doit s'annuler en (x0,y0). En calculant avec les dérivées partielles, il obtient que dans ce cas on doit avoir x0=0 et y0 quelconque.
Et là je ne comprends pas sa conclusion, il écrit: on observe que f(0,y)=0 et il desssine l'ellipse dans un repère en indicant l'axe des ordonnées dans l'ellipse comme la zone f=0 (n'est ce pas plutot y=0???)
Ensuite il étudie le 2ième cas, donc il dit que le bord de C n'est pas un ouvert de ² mais une courbe de classe C1 (ce qu'il prouve en montrant que l'équation de la frontière est régulière). Et la il utilise le théorème de Lagrange, ie si on pose g(x,y):=x²+2y²-6 et si (x0,y0) est un extremum local de f|C la restriction de f à C alors df(x0,y0) =
dg(x0,y0) pour un certain réel
Aprés calculs il obtient les "candidats possibles" à être un extremum de f|C : (2,1) , (2,-1), (-2,1) et (-2,-1).
Et il s'arrête ici. Mes questions sont:
- Est on obligé de séparer les deux cas (étude à l'intérieur et étude à la frontière)?
- Quelle est la conclusion de l'exercice, comment savoir quels sont les extrema? (car ici on a les candidats possibles mais on ne sait pas s'ils sont effectivement des extrema de f|C )
- A quoi nous sert la solution du premier cas?
Merci beaucoup!
Bonjour
Il se trouve que dans ton exemple le domaine est compact donc on est sur de l'existence d'extremums. Ou bien il y en a à l'intérieur et les candidats possibles comme d'habitude, ou bien ils sont sur le bord. En comparant les valeurs prises en ces points on peut au moins identifier les points ou le minimum et le maximum absolus sont atteints. L'étude locale des autres candidats est plus délicate et sans méthode générale.
Ici: f(0,y)=0, f(2,1)=f(-2,1)=4 et f(-2,-1)=f(2,-1)=-4, donc c'est en (2,1) et en (-2,1) que l'on atteint le maximum et en (-2,1) que l'on atteint le minimum. De plus, au voisinage d'un point (0,y) avec y non nul, f(x,y) a le signe de y donc c'est un minimumlocal si y > 0 et un maximum local si y < 0. Enfin, au voisinage de (0,0) la fonction change de signe donc ce n'est pas un extremum local.
Merci beaucoup Camélia, c'est plus clair! Je crois que dans les exercices qu'il nous a donnés tous les domaines sont compacts.
Donc en gros il faut toujours séparer le cas -intérieur et -frontière du domaine, l'application du théorème de Lagrange et le fait que le domaine soit compact ne suffit pas (car on aurait pas trouver le cas du point (0,y) ) ?
Le prof fait la distinction entre extremum "global" et extremum "local" mais je ne comprends pas trop car dans le théorème de Lagrange il parle d'extremum local.
Merci
Oui, c'est bien ça. le théorème de Lagrange et les points singuliers fournissent tous des candidats extremume locaux.
Dans le cas compact, on est au moins surs de l'existence des extremums globaux. Il aurait pu se faire que l'un des globaux soient à l'intérieur, donc il faut regarder. Pour les candidats qui ne sont pas garantis globaux, à ce niveau c'est du bricolage!
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