Bonjour

Qu'as-tu déja fait?


Jord

Salut

Mathematica me donne un minimum égal à 4 pour x = 0.5 et y = 0.5

jean-émile

Bonjour Nightmare (Modérateur) bonjour jean-émile,
Voilà pour la recherche des points critiques de F j'ai procédé comme suit:
   avec     d'où  
et
ainsi les points critiques de F sont solutions du système:

  
avec
et là je bloque
jean-émile la valeur 4 est certainement juste et elle est atteinte en on pourra par exemple penser à montrer que pour tout

Salut majid52

On a eu la même idée :

introduire f telle que f(x) = Sqrt[x^2-x+1]/(1-x)

Trop de calculs

J'ai donc demandé à l'informatique qui elle sait calculer ce genre de choses

jean-émile

Salut majid52

Ton système est vérifié pour y = x

Donc 3 x F(x,x) = 2 f'(x) Sqrt(3 x^2)

Ce qui donne x = 1/2

Le couple x = y = 1/2 est donc solution

Est-ce la seule ??

jean-émile

Bonjour majid52

avec f'(x) = (1+x)/(2.(1-x)².(x²-x-1)^(1/2))

...et là je bloque...

vu que (1-x)² est au dénominateur, une fonction en K/(1-x) est envisageable.

vu que (x²-x-1)^(1/2) est au dénominateur, une fonction en K(x²-x-1)^(1/2) est aussi enviseageable.

essaies qqchose du type :

f(x) = K(x).(x²-x-1)^(1/2)/(1-x) + C

avec K(x) en K(x)=ax+b au max : pas de ax²+bx+c.

Philoux

Je ne me suis pas penché ni sur ce que je vais dire, ni sur le sujet original, celà étant:
Sur tout compact, une fonction continue est bornée et atteint ses bornes(*), notamment ici on te demande de trouver la borne inf de f sur C=]0,1[², et tu trouves qu'elle se situe en (1/2,1/2) a priori.
Si tu utilises (*) à tout compact de C, notamment à tout carré du type
[1/2-h,1/2+h]² pour 1/2>h>0, et que tu utilises la méthode des multiplicateurs de Lagrange, tu vas trouver tes extrema (le minimum seulement nous intéresse). Si tu arrives à montrer que ce minimum ne dépend pas de h, tu as en partie gagné.
Il te faut montrer montrer que les limites au bord (sous reserve d'existence) sont toujours supérieures à 4, auquel cas, ta borne inf sera également un min.
C'est quand même assez lourd a priori, mais comme c'est une voie visiblement vierge d'exploration, je vous la soumet.
A+

"Si tu utilises (*) à tout compact de C, notamment à tout carré"

C'est mal dit:
Ici on ne regarde pas tous les compacts, mais uniquement les carrés de la forme que je cite. (mais la propriété elle, est vrai sur tout compact)

Salut

Pourquoi ne pas développer F(1/2 + h , 1/2 + k) ??

jean-émile

En fait ce que j'ai compris des interventions précédentes est que (1/2,1/2) est bien un extremum local, mais qu'on voulait savoir si c'était la borne inf. Si ce n'est pas le cas, alors il faut oublier mes interventions précédentes. Sinon F(1/2+h,1/2+k) ne donnera que le comportement local autour du point critique, non?

Tout à fait

Mais un tracé de la surface z = F(x,y) sur ]0,1[² "montre" qu'il n'y a qu'un seul point critique correspondant à un minimum (absolu)

Mais ça n'est pas une preuve mathématiques

jean-émile

Un grand bonjour et merci à vous tous,
otto,peut-tu m'expliquer un peu la méthode des multiplicateurs de Lagrange?
philoux,je n'ai pas assez compris ce que tu proposes...
jean-émile,j'ai essayé le développement de F(x+1/2,y+1/2) mais cela complique davantage les calculs (pour moi en tout cas).

La méthode des multiplicateurs de Lagrange, permet sous contrainte (ie sur une variété) de trouver les minima relatifs à ta contrainte.
Si tu ne l'as pas vu, alors oublie cette méthode.