Niveau Maths sup

Extremums globaux

Posté par
Panter 26-03-07 à 01:45

Salut à tous !

Ma proposition d'aujourd'hui est un petit exo niveau Spé, bonne chance !:

Pour $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$ , déterminer les extremums globaux de $\begin{array}{rcccl} \\ f&:&(\mathbb{R}^{*}_{+})^n&\to& \mathbb{R}\\ \\ \end{array}$ définie par :

$f(x_1, \cdots , x_n) = ( \bigsum_{i=1}^n (x_i)^{-1}) \bigprod_{i=1}^n (1+x_i)$

Posté par Re : Extremums globaux. 26-03-07 à 16:49

Bonjour Panter ;
$2$\fbox{(\forall(x_1,..x_n)\in(\mathbb{R}_+^*)^n)\\f(x_1,..,x_n)=(\frac{1}{x_1}+..+\frac{1}{x_n})(1+x_1)..(1+x_n)}$
$\fbox{*}$ $f$ est clairement continue sur $(\mathbb{R}_+^*)^n$ .
$\fbox{*}$ $\fbox{\lim_{x_1\to0^+}f(x_1,..x_n)=\lim_{x_1\to+\infty}f(x_1,..x_n)=+\infty}$ .
Ce qui prouve que $f$ admet un minimum global sur $(\mathbb{R}_+^*)^n$ et n'est pas majorée.

$\fbox{*}$ Pour $\fbox{(x_1,..x_n)\in(\mathbb{R}_+^*)^n}$ l'inégalité arithmético-géométrique donne $3$\fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}\ge n\sqrt[n]{\Bigprod_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}=\frac{n}{\Bigprod_{i=1}^{n}\sqrt[n]{x_i}}}$
ce qui donne $4$\blue\fbox{(\forall(x_1,..x_n)\in(\mathbb{R}_+^*)^n)\\f(x_1,..,x_n)\ge n\Bigprod_{i=1}^{n}\frac{1+x_i}{\sqrt[n]{x_i}}}$
une petite étude de la fonction $2$\fbox{t\to\frac{1+t}{\sqrt[n]{t}}}$ sur $]0,+\infty[$ montre qu'elle admet un minimum global en $\fbox{t_0=\frac{1}{n-1}}$
et on conclut finalement que $4$\red\fbox{(\forall(x_1,..x_n)\in(\mathbb{R}_+^*)^n)\\f(x_1,..,x_n)\ge f(\frac{1}{n-1},..,\frac{1}{n-1})=\frac{n^{n+1}}{(n-1)^{n-1}}}$ (sauf erreur bien entendu)

Posté par re : Extremums globaux 26-03-07 à 23:31

Bravo !

comment t'as trouvé cet exo ? facile non
Je l'ai proposé en fait pour ceux qui aimeront paaser concours centrale ...

Posté par Re : Extremums globaux. 27-03-07 à 00:03

Bonsoir Panter ;
C'est un exercice abordable mais assez astucieusement

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