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Extremums locaux et globaux - fonctions deux variables
Bonjour,
j'ai un exercice sur les fonctions à deux variables, et sur certaines équations, j'ai des doutes ou des interrogations.
Énoncé :
Soit une fonction f(x;y) : définie sur D =
1) Précisez la nature du domaine.
Ici, j'ai indiqué qu'il s'agissait d'un domaine fermé et borné, au vu de sa représentation graphique (boule)
2) Déterminez les points stationnaires et précisez leur nature.
Ici, aucun problème. On trouve 1 seul point critique de coordonnées (1;0) et il s'agit d'un maximum local.
3) Étudiez les possibles extrema situés sur le bord de D.
Là, ça se complique. J'ai tenté quelque chose, mais je ne sais pas si ça a du sens, ou s'il y a plus rapide.
Soit
Soit
J'en déduis que
Mais, là, je ne sais pas quoi en conclure.
4) Conclure sur les extrema globaux de cette fonction. On donnera leur valeur.
Le maximum local (1;0) est bien un maximum global après avoir étudié le signe de
Mais comme je ne sais que conclure pour la question 3), je ne sais pas s'il y en a d'autre.
Merci à tous !
salut
1/ puisqu'on est dans le plan pourquoi ne pas répondre très exactement "D est le disque fermé de centre l'origine et de rayon 5" ?
2/ + 4/ on peut remarquer que
qui montre que f est maximale en (1, 0)et que ce maximum est 2
3/ pourquoi ne pas passer en coordonnées polaires en posant x = 5 cos t et y = 5 sin t ?
Salut,
merci pour toutes ces précisions.
Pour la 3), il me semble que notre prof ne désire pas qu'on utilise les coordonnées polaires, car on n'a pas encore abordé la trigonométrie.
Merci,
Donc, la constance des dérivées de g(x) et h(x) prouve qu'il n'y a pas d'extrema globaux au bord de D ?
ben oui tout simplement ...
et pas besoin de dérivée avec une fonction affine 
il suffit de justifier son sens de variation ...
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