Bonjour,
j'ai un exercice qui est le suivant:Soit f une fonction continue sur I de R telle que pour tout x de R : f(x)²=1
Montrer que f est constante
Mais je ne sais pas comment le faire car: f(x)²=1 implique que f(x)=1 ou -1
Bonjour.
Une fonction continue qui atteint 1 et -1 doit s'annuler. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Bonjour WilliamM007,
Je ne comprends pas l'utilisation du TVI dans cette exercice. Ce théorème nous permet de montrer l'existence d'une solution a une équation du type f(x)= sur un intervalle dans lequel f est monotone. Alors que dans l'exercice, on cherche à montrer que f est constante.
Bonjour,
Je crois avoir trouver une solution mais je sais pas si cela est correcte.
Je suis parti de : f(x)²=1
⟺f(x)*f(x)=1
Puis j'ai dérivé l'expression par rapport à x:
2f'(x)f(x)=0
or f(x)≠0 car f(x)²=1
Donc, f'(x)=0
Cela implique que f est constante.
f(x)²=1 implique que f(x)=1 ou f(x)=-1.
Supposons que f n'est pas constante. Donc il existe x et y avec x et y différent tel que f(x)=1 et f(y)=-1. Or f est continue. Donc d'après le TVI, il existe Z appartenant au segment ]x, y[ tel que f(z)=0, mais f(z)² n'est pas égal à 1 : absurde ! Donc f est constante.
Ah d'accord merci Nico Tail et désolé WilliamM007 je n'avais pas compris qu'il valait utiliser le TVI dans un résonnement par l'absurde.
Bonjour,
Démonstration par l'absurde:
Supposons tel que
et
ou (
et
)
D'après le Théorème de Bolzano
Si est une fonction continue sur
telle que
et
ont des signes opposés, alors il existe au moins un réel
dans l'intervalle ouvert
tel que
. Ce qui est absurde
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