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f(x)²=1

Posté par
Badreddine0
29-07-17 à 11:23

Bonjour,

j'ai un exercice qui est le suivant:Soit f une fonction continue sur I de R telle que pour tout x de R : f(x)²=1
Montrer que f est constante

Mais je ne sais pas comment le faire car: f(x)²=1 implique que f(x)=1 ou -1

Posté par
WilliamM007
re : f(x)²=1 29-07-17 à 11:25

Bonjour.

Une fonction continue qui atteint 1 et -1 doit s'annuler. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Posté par
Badreddine0
re : f(x)²=1 29-07-17 à 12:12

Bonjour WilliamM007,

Je ne comprends pas l'utilisation du TVI dans cette exercice. Ce théorème nous permet de montrer l'existence d'une solution a une équation du type f(x)=\lambda sur un intervalle dans lequel f est monotone. Alors que dans l'exercice, on cherche à montrer que f est constante.  

Posté par
Badreddine0
re : f(x)²=1 29-07-17 à 12:18

Bonjour,

Je crois avoir trouver une solution mais je sais pas si cela est correcte.
Je suis parti de : f(x)²=1
⟺f(x)*f(x)=1

Puis j'ai dérivé l'expression par rapport à x:

2f'(x)f(x)=0
or f(x)≠0 car f(x)²=1

Donc, f'(x)=0

Cela implique que f est constante.

Posté par
NicoTial
re : f(x)²=1 29-07-17 à 12:44

Tu ne peux pas faire ça... f n'est pas forcément dérivable.

Posté par
NicoTial
re : f(x)²=1 29-07-17 à 12:47

f(x)²=1 implique que f(x)=1 ou f(x)=-1.
Supposons que f n'est pas constante. Donc il existe x et y avec x et y différent tel que f(x)=1 et f(y)=-1. Or f est continue. Donc d'après le TVI, il existe Z appartenant au segment ]x, y[ tel que f(z)=0, mais f(z)² n'est pas égal à 1 : absurde ! Donc f est constante.

Posté par
Badreddine0
re : f(x)²=1 29-07-17 à 13:00

Ah d'accord merci Nico Tail et désolé WilliamM007 je n'avais pas compris qu'il valait utiliser le TVI dans un résonnement par l'absurde.

Posté par
Razes
re : f(x)²=1 29-07-17 à 13:11

Bonjour,

Démonstration par l'absurde:
f(x)^2=1\Leftrightarrow f(x)=1 \or f(x)=-1

Supposons \exists x_1, x_2\in I tel que f(x_1)=1 et f(x_2)=-1 ou (f(x_1)=-1 et f(x_2)=1 )

D'après le Théorème de Bolzano
Si f est une fonction continue sur  [x_1, x_2] telle que f(x_1) et f(x_2) ont des signes opposés, alors il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouvert  ]x_1, x_2 [ tel que f(c)= 0.  Ce qui est absurde

Posté par
Razes
re : f(x)²=1 29-07-17 à 13:23

Corriger:
f(x)^2=1\Leftrightarrow (f(x)=1 ou f(x)=-1)



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