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Niveau terminale
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f(x+y) = f(x) + f(y)

Posté par
Khola22
14-11-20 à 19:54

Bonjour !
On a une fct définie sur R tel que :
f(x;y) = f(x) + f(y)
On m'a demandè de prouver que si f est continue en 0 alors elle est continue sur R.
Bon il me parrait qu 'il y a quelque chose qui cloche, car on a pas besoin de la continuité de f en 0 pour prouver la continuité sur R :

Soit y
\lim_{x\Rightarrow y} f(x) = \lim_{x\Rightarrow y} f(x+y) - f(y) = 
 \\ f(2y) + f(y)

Et on a : f(2y) = f(y) + f(y) = 2f(y)
En remplaçant, on trouvera que la limite est égale à f(y), d'où elle est continue.

Est ce vrai ?
Merci !

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 20:08

Excusez mes fautes !

Citation :

Bonjour !
On a une fct définie sur R tel que :
f(x;y) = f(x) + f(y)
On m'a demandè demandé de prouver que si f est continue en 0 alors elle est continue sur R.
Bon il me parrait paraît qu 'il y a quelque chose qui cloche, car on a pas besoin de la continuité de f en 0 pour prouver la continuité sur R :

Soit y  
\lim_{x\Rightarrow y} f(x) = \lim_{x\Rightarrow y} f(x+y) - f(y) =
\\ f(2y) + f(y)

Et on a : f(2y) = f(y) + f(y) = 2f(y)
En remplaçant, on trouvera que la limite est égale à f(y), d'où elle est continue.

Est ce vrai ?
Merci  !

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 20:54

Bonsoir,

Tu as supposé la continuité de f en 2y ?
Sinon comment obtiens-tu la convergence vers f(2y) ?

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:00

Maru0
Je ne sais pas encore ce que la convergence veut dire ...
Mais bon, pourquoi dois je discuter si f est continue en 2y ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:03

Bonjour,
Une règle d'or quand on travaille sur les limites :
Ne jamais écrire ce genre d'expression : \lim_{x\rightarrow x_{0}} h(x)
sans avoir auparavant justifié l'existence de cette limite.

Tu as écrit

Citation :
\lim_{x\Rightarrow y} f(x) = \lim_{x\Rightarrow y} f(x+y) - f(y) = 
 \\ f(2y) + f(y)
Donc deux expressions de ce type sans que l'existence d'aucune des deux limites ne soit justifiée.

Et d'où sort ce \lim_{x\Rightarrow y} f(x+y) = f(2y) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:05

Bonsoir Maru0
Je te laisse poursuivre après avoir répondu pour "convergence" :
Tu utilises ce mot à la place de "a une limite" me semble-t-il.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:11

Citation :

Une règle d'or quand on travaille sur les limites :
Ne jamais écrire ce genre d'expression : \lim_{x\rightarrow x_{0}} h(x)
sans avoir auparavant justifié l'existence de cette limite.


Oh ça rend les choses bien compliquées maintenant.
Comment pourrais-je verifier cette existence ?

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:23

Je parlais de convergence en 2y puisque tu as écrit :

\lim\limits_{x \to y} f(x + y) - f(y) = f(2y) - f(y)

Ce qui revient à écrire : \lim\limits_{z \to 2y} f(z) - f(y) = f(2y) - f(y)

Comme le dit Sylvieg, a priori on ne sait pas encore que cette limite existe. En particulier on sait encore moins qu'elle vaut f(2y).

A moins que tu n'aies une hypothèse dans l'énoncé de l'exercice qui te permette de l'écrire ?

De ce que j'ai compris, tu proposes une preuve qui n'utilise pas la continuité en 0.
Mais dans cette preuve, tu as écrit une limite comme si de rien n'était. On cherche donc à comprendre d'où elle sort.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:25

Ah pardon, c'est plutôt :

Citation :

Bonjour !
On a une fct définie sur R tel que :
f(x;y) = f(x) + f(y) f(x+y) = f(x) + f(y)
On m'a demandè de prouver que si f est continue en 0 alors elle est continue sur R.
Bon il me parrait qu 'il y a quelque chose qui cloche, car on a pas besoin de la continuité de f en 0 pour prouver la continuité sur R :

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:28

Maru0
Oui. J'ai bien compris tout ce que vous avez dit, mais c'est la première fois que je tombe sur un exercice qui impose la vérification de l'existence de la limite.

J'ai dit que comme f est définie sur R, on va tout simplement remplacer : \lim_{x\Rightarrow y}f(x+y) = f(2y)

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:30

Justement, rien ne te dit que c'est le cas.
Est-ce que dans ton cours tu as une définition de la continuité ?

Pour donner un contre-exemple à ce que tu dis :

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = 0 si x \neq 0 et f(0)= 1.
Alors \lim\limits_{x \to 0} f(x) n'existe pas

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:35

Maru0
N'est ce pas 0 ?
Car quand on parle d'une limite quand x tend vers 0, alors x ]-1;0[ ou x 0;1[, la limite est alors égale à 0 .
??

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:38

Non. La suite constante égale à 0 tend vers 0. Je la note (x_n).
Donc si la limite que j'ai écrite existait, elle coïnciderait avec \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n). On aurait donc 0=1.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:40

Maru0 @ 14-11-2020 à 21:30

Justement, rien ne te dit que c'est le cas.
Est-ce que dans ton cours tu as une définition de la continuité ?

Pour donner un contre-exemple à ce que tu dis :

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = 0 si x \neq 0 et f(0)= 1.
Alors \lim\limits_{x \to 0} f(x) n'existe pas


Bon j'ai compris l'idée que la limite peut être autre chose que f(2y) tout simplement.

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:42

C'est plus délicat que ça.
En fait, si la limite existe, étant donné l'exemple de la suite constante, tu peux dire que la limite est nécessairement f(2y).
Mais c'est SEULEMENT SI LA LIMITE EXISTE.
Sinon, tu ne peux même pas parler de "la" limite.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:48

Maru0
Jl'exemplee n'ai pas bien compris l'exemple que vous avait donné par la limite constante, mais j'essaierai encore.
Alors je peux que ma réponse n'est pas correcte, je doit chercher autrement ...

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:53

En fait je ne crois pas que la notion de continuité par les limites soit vue en terminale.
Et je ne sais pas si tu as vu en cours la notion de continuité, ni si tu as vu ce que signifie la limite d'une fonction en un point.
Peut-être préfères-tu que je l'explique ?

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 21:58

Maru0
Ce que je sais à propos de la continuité, et qui a relation avec les limites, est que :
on doit avoir a de Df, et si
\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a) alors f est continue en a.
Pour les limites en général, c'est la définition des
et ...

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:00

Maru0
À partir de ce que j'ai constaté, que vos explications sont un peu plus précis t différents de tout ce que j'ai jamais entendu.
Si vous le voulez bien, expliquez moi un peu plus

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:02

Citation :

À partir de ce que j'ai constaté, que vos explications sont un peu plus précises et différentes de tout ce que j'ai jamais entendu.
Si vous le voulez bien, expliquez moi un peu plus

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:04

Ok. Je te donne une autre définition équivalente, qui devrait te permettre de comprendre l'exemple que j'ai donné :
On dit que f en continue en a si pour toute suite (x_n) qui tend vers a, on a \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n) = f(a)

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:05

On pourrait te proposer un exercice (pas très marrant selon moi) qui serait :
montrer que les deux définitions sont équivalentes

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:09

Bonsoir,

Citation :
Pour les limites en général, c'est la définition des
et ...
Peux-tu la donner pour limite finie en un point ?

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:14

Maru0 @ 14-11-2020 à 22:04

Ok. Je te donne une autre définition équivalente, qui devrait te permettre de comprendre l'exemple que j'ai donné :
On dit que f en continue en a si pour toute suite (x_n) qui tend vers a, on a \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n) = f(a)


On est pas encore arrivé aux limites des suites.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:18

Sylvieg
>0 >0 xDf
|x-a|< |f(x) - L|<

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:24

D'accord.
Donc la fonction de Maru0 de 21h30 n'a pas de limite en 0.

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:31

Pour le détailler un peu, je donnais l'exemple de la suite constante égale à 0. Ici cela revient à dire x=0, qui vérifie bien  |0 - 0| < \alpha. Donc pour \varepsilon = \frac 1 2, tu obtiens une contradiction.

Je suis cela dit très surpris que vous parliez de continuité avec des \varepsilon, mais que vous n'ayez jamais vu la convergence de simples suites.

C'est un peu plus clair ou tu préfères revenir sur certains points ?

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:39

Sylvieg @ 14-11-2020 à 22:24

D'accord.
Donc la fonction de Maru0 de 21h30 n'a pas de limite en 0.


Est ce que vous vouliez dire qu'elle n'est pas continue ? Car c'est la seule chose que je trouve vraie, je pense encore que f admet une limite en 0.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:41

Maru0 @ 14-11-2020 à 22:31

Pour le détailler un peu, je donnais l'exemple de la suite constante égale à 0. Ici cela revient à dire x=0, qui vérifie bien  |0 - 0| < \alpha. Donc pour \varepsilon = \frac 1 2, tu obtiens une contradiction.

C'est un peu plus clair ou tu préfères revenir sur certains points ?


Quelle est la contradiction svp ?

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:49

Supposons que la fonction que j'ai donnée admette une limite en 0.
Alors il existe un L tel que
\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall x, (|x-0| < \alpha \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon).

Je prends \varepsilon = \frac{1}{2}. Alors il existe \alpha > 0 vérifiant la condition ci-dessus.

Pour x \in ]0 ; \alpha[, on a |x - 0| = x < \alpha, donc |f(x) - L| < \frac{1}{2}. Or f(x) = 0, donc |L| < \frac{1}{2}.

Pour x=0, on a | x - 0| = 0 < \alpha, donc |f(x) - L| < \frac{1}{2}. Or f(x) = 1, donc |1-L| < \frac{1}{2}.

Donc  1 = (1-L)+L \leq |1-L| + |L| < \frac{1}{2} + \frac{1}{2}.

Donc si la fonction que j'ai donnée admet une limite en 0, alors 1 < 1.
Donc la fonction que j'ai donnée n'admet pas de limite en 0.
C'est-à-dire qu'elle n'est pas continue en 0.

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 22:58

Je précise qu'avec la définition par les suites, c'est beaucoup plus rapide

Je suis cela dit très surpris que vous parliez de continuité avec des \varepsilon, mais que vous n'ayez jamais vu la convergence de simples suites.

Tu as compris l'exemple que j'ai donné ou certains points restent flous ?

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 23:00

Maru0
Ah bon, c'est très clair maintenant  !

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 23:02

Maru0
Je vous rassure que nul part de mes leçons contiennent le mot convergence ou limite de suite jusqu'à présent

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 23:05

Je te crois, pas d'inquiétude. C'est juste que la notion de limite de suites me paraît tellement fondamentale que j'ai bugué quelques minutes quand tu m'as dit que vous n'en aviez jamais parlé.

Pour en revenir à l'exercice, tu cherchais une limite en y.
Tu as remarqué qu'on pouvait "déplacer" cette limite en 2y, où l'énoncé ne te donne pas d'information.
La seule hypothèse que tu as concernes une limite en 0.

Est-ce que tu vois comment procéder ?

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 23:18

Maru0
Merci beaucoup pour l'explication  !

Bon je pense que je prendrai au lieu de y : -y
\lim_{x\rightarrow -y}f(x) = \lim_{x+y\rightarrow 0} f(x) =\lim_{x+y\rightarrow 0} f(x+y) - f(y)

Et comme f admet une limite (et continue) en 0, alors on aurait le droit de dire que la limite finale est f(0) - f(y).
Pour x = -y
f(x) = f(x+y) - f(y) = f(0) - f(y) ce qui prouve la continuité.

Est ce valable comme démonstration  ???

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 23:30

C'est presque correct.
Comme on le disait avec Sylvieg, tu ne peux pas écrire "lim" tant que tu ne sais pas que la limite existe.
C'est beaucoup plus simple de l'écrire comme tu l'as écrit, mais ton enseignant pourrait penser que tu n'as rien compris (que ce soit le cas où non).

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 23:37

Maru0
Oui c'est vrai. Mais comment puis je rédiger ma réponse autrement ?

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 14-11-20 à 23:42

Tu écris l'égalité entre deux fonctions. L'une admettra une limite en -y si et seulement si l'autre aussi.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 00:00

Bon,
f(x-y) = f(x) + f(-y) f(x-y) - f(-y) = f(x)
Soit h : x f(x-y) - f(-y)
f admet une limite en -y ssi h l'admet aussi.
On a f est continue en 0, donc :
\lim_{x+y\rightarrow0 }f(x+y) = f(0) = \lim_{x\rightarrow-y }f(x+y) = f(0)

Je doit maintenant montrer que f(-y) admet une limite en -y. Est ce que je peux prendre f(-y) comme une constante  ? Si oui, elle admet une limite en tout points de R, qui est f(-y) même.

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 00:05

Avec h posée telle que tu l'as fait, j'aurais pensé que tu veuilles montrer que f admet une limite en y.
Et après tu parles d'une limite en -y.
Du coup je ne suis pas sûr de celui que tu choisis de montrer.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 00:17

Maru0 @ 15-11-2020 à 00:05

Avec h posée telle que tu l'as fait, j'aurais pensé que tu veuilles montrer que f admet une limite en y.
Et après tu parles d'une limite en -y.
Du coup je ne suis pas sûr de celui que tu choisis de montrer.

Je suis personnellement  bouche bée devanr ce que j'ai fait. C'est trop tard maintenant et je pense que je n'ai plus la capacité à se concentrer.
Merci de bien vouloir arrêter le travail jusqu'à demain matin aussi tôt que possible.
Et merci encore pour votre grand aide !

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 00:21

Pas de problème. Tu peux poster un message quand tu veux. Si je ne suis pas là un autre intervenant pourra prendre le relais.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 07:28

Bonjour à nouveau,
Si j'ai bien compris, les données sont :
Pour tout x et y réels \; f(x+y) = f(x) + f(y) \; \; (1)
f est continue en 0.

Traduction de f continue en 0 : \; \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = f(0)

f(0) = 0 a-t-il été démontré auparavant ? Si oui, \; \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 \; (2)

Je te conseille de chercher à démontrer \; \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a) \; en utilisant (1) et (2).

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 09:41

Sylvieg
Bonjour !
La 2e proposition n'est pas valable.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 09:48

f(0) = 0 ?

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 09:52

Sylvieg @ 15-11-2020 à 09:48

f(0) = 0 ?


Oui.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 10:02

Maru0 Sylvieg
Voici une réponse qui me paraît finale :

On a f(x+y) = f(x) + f(y) f(x) = f(x+y) - f(y)
f admet une limite sur ssi h : x f(x+y) - f(y) l'admet aussi.

On a \lim_{x+y\rightarrow0 } f(x+y) = f(0) \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow -y } f(x+y) = f(0)

f(y) est une constante, donc \lim_{x\rightarrow-y } f(y) = f(y)

Donc \lim_{x\rightarrow-y } h(x) = f(0) - f(y)

Et comme f(x) = h(x), alors elles admettent la même limite en -y qui est : f(0) - f(y)

En calculant l'image se -y par f(x) on trouvera qu'elle est égale à sa limite en -y.

Conclusion : f est contenue en tout point -y appartenant à .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 10:02

Utilise (1) avec y = 0.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 10:24

Tu ne tiens aucun compte de nos remarques.
J'abandonne.
Maru0 sera peut-être plus patient que moi.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 10:34

Sylvieg @ 15-11-2020 à 10:24

Tu ne tiens aucun compte de nos remarques.
J'abandonne.
Maru0 sera peut-être plus patient que moi.


Pardon mais la limite existe en 0, où est le problème ici ?

Et évidemment, si je suis tombée dans une autre erreur ça ne sera pas de mon plein gré, j'essaie encore de comprendre des choses qui me paraît TOTALEMENT bizarre.

À bien tôt Sylvieg. Merci pour votre contribution

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