Bonjour !
On a une fct définie sur R tel que :
f(x;y) = f(x) + f(y)
On m'a demandè de prouver que si f est continue en 0 alors elle est continue sur R.
Bon il me parrait qu 'il y a quelque chose qui cloche, car on a pas besoin de la continuité de f en 0 pour prouver la continuité sur R :
Soit y
Et on a : f(2y) = f(y) + f(y) = 2f(y)
En remplaçant, on trouvera que la limite est égale à f(y), d'où elle est continue.
Est ce vrai ?
Merci !
Excusez mes fautes !
Maru0
Je ne sais pas encore ce que la convergence veut dire ...
Mais bon, pourquoi dois je discuter si f est continue en 2y ?
Bonjour,
Une règle d'or quand on travaille sur les limites :
Ne jamais écrire ce genre d'expression :
sans avoir auparavant justifié l'existence de cette limite.
Tu as écrit
Bonsoir Maru0
Je te laisse poursuivre après avoir répondu pour "convergence" :
Tu utilises ce mot à la place de "a une limite" me semble-t-il.
Je parlais de convergence en 2y puisque tu as écrit :
Ce qui revient à écrire :
Comme le dit Sylvieg, a priori on ne sait pas encore que cette limite existe. En particulier on sait encore moins qu'elle vaut .
A moins que tu n'aies une hypothèse dans l'énoncé de l'exercice qui te permette de l'écrire ?
De ce que j'ai compris, tu proposes une preuve qui n'utilise pas la continuité en 0.
Mais dans cette preuve, tu as écrit une limite comme si de rien n'était. On cherche donc à comprendre d'où elle sort.
Ah pardon, c'est plutôt :
Maru0
Oui. J'ai bien compris tout ce que vous avez dit, mais c'est la première fois que je tombe sur un exercice qui impose la vérification de l'existence de la limite.
J'ai dit que comme f est définie sur R, on va tout simplement remplacer :
Justement, rien ne te dit que c'est le cas.
Est-ce que dans ton cours tu as une définition de la continuité ?
Pour donner un contre-exemple à ce que tu dis :
Soit la fonction définie sur par si et .
Alors n'existe pas
Maru0
N'est ce pas 0 ?
Car quand on parle d'une limite quand x tend vers 0, alors x ]-1;0[ ou x 0;1[, la limite est alors égale à 0 .
??
Non. La suite constante égale à 0 tend vers 0. Je la note .
Donc si la limite que j'ai écrite existait, elle coïnciderait avec . On aurait donc .
C'est plus délicat que ça.
En fait, si la limite existe, étant donné l'exemple de la suite constante, tu peux dire que la limite est nécessairement .
Mais c'est SEULEMENT SI LA LIMITE EXISTE.
Sinon, tu ne peux même pas parler de "la" limite.
Maru0
Jl'exemplee n'ai pas bien compris l'exemple que vous avait donné par la limite constante, mais j'essaierai encore.
Alors je peux que ma réponse n'est pas correcte, je doit chercher autrement ...
En fait je ne crois pas que la notion de continuité par les limites soit vue en terminale.
Et je ne sais pas si tu as vu en cours la notion de continuité, ni si tu as vu ce que signifie la limite d'une fonction en un point.
Peut-être préfères-tu que je l'explique ?
Maru0
Ce que je sais à propos de la continuité, et qui a relation avec les limites, est que :
on doit avoir a de Df, et si
alors f est continue en a.
Pour les limites en général, c'est la définition des
et ...
Maru0
À partir de ce que j'ai constaté, que vos explications sont un peu plus précis t différents de tout ce que j'ai jamais entendu.
Si vous le voulez bien, expliquez moi un peu plus
Ok. Je te donne une autre définition équivalente, qui devrait te permettre de comprendre l'exemple que j'ai donné :
On dit que en continue en si pour toute suite qui tend vers , on a
On pourrait te proposer un exercice (pas très marrant selon moi) qui serait :
montrer que les deux définitions sont équivalentes
Bonsoir,
Pour le détailler un peu, je donnais l'exemple de la suite constante égale à 0. Ici cela revient à dire , qui vérifie bien . Donc pour , tu obtiens une contradiction.
Je suis cela dit très surpris que vous parliez de continuité avec des , mais que vous n'ayez jamais vu la convergence de simples suites.
C'est un peu plus clair ou tu préfères revenir sur certains points ?
Supposons que la fonction que j'ai donnée admette une limite en 0.
Alors il existe un tel que
.
Je prends . Alors il existe vérifiant la condition ci-dessus.
Pour , on a , donc . Or , donc .
Pour , on a , donc . Or , donc .
Donc .
Donc si la fonction que j'ai donnée admet une limite en 0, alors .
Donc la fonction que j'ai donnée n'admet pas de limite en 0.
C'est-à-dire qu'elle n'est pas continue en 0.
Je précise qu'avec la définition par les suites, c'est beaucoup plus rapide
Je suis cela dit très surpris que vous parliez de continuité avec des , mais que vous n'ayez jamais vu la convergence de simples suites.
Tu as compris l'exemple que j'ai donné ou certains points restent flous ?
Maru0
Je vous rassure que nul part de mes leçons contiennent le mot convergence ou limite de suite jusqu'à présent
Je te crois, pas d'inquiétude. C'est juste que la notion de limite de suites me paraît tellement fondamentale que j'ai bugué quelques minutes quand tu m'as dit que vous n'en aviez jamais parlé.
Pour en revenir à l'exercice, tu cherchais une limite en .
Tu as remarqué qu'on pouvait "déplacer" cette limite en , où l'énoncé ne te donne pas d'information.
La seule hypothèse que tu as concernes une limite en 0.
Est-ce que tu vois comment procéder ?
Maru0
Merci beaucoup pour l'explication !
Bon je pense que je prendrai au lieu de y : -y
Et comme f admet une limite (et continue) en 0, alors on aurait le droit de dire que la limite finale est f(0) - f(y).
Pour x = -y
f(x) = f(x+y) - f(y) = f(0) - f(y) ce qui prouve la continuité.
Est ce valable comme démonstration ???
C'est presque correct.
Comme on le disait avec Sylvieg, tu ne peux pas écrire "lim" tant que tu ne sais pas que la limite existe.
C'est beaucoup plus simple de l'écrire comme tu l'as écrit, mais ton enseignant pourrait penser que tu n'as rien compris (que ce soit le cas où non).
Tu écris l'égalité entre deux fonctions. L'une admettra une limite en si et seulement si l'autre aussi.
Bon,
f(x-y) = f(x) + f(-y) f(x-y) - f(-y) = f(x)
Soit h : x f(x-y) - f(-y)
f admet une limite en -y ssi h l'admet aussi.
On a f est continue en 0, donc :
Je doit maintenant montrer que f(-y) admet une limite en -y. Est ce que je peux prendre f(-y) comme une constante ? Si oui, elle admet une limite en tout points de R, qui est f(-y) même.
Avec h posée telle que tu l'as fait, j'aurais pensé que tu veuilles montrer que f admet une limite en y.
Et après tu parles d'une limite en -y.
Du coup je ne suis pas sûr de celui que tu choisis de montrer.
Pas de problème. Tu peux poster un message quand tu veux. Si je ne suis pas là un autre intervenant pourra prendre le relais.
Bonjour à nouveau,
Si j'ai bien compris, les données sont :
Pour tout x et y réels f(x+y) = f(x) + f(y) (1)
f est continue en 0.
Traduction de f continue en 0 :
f(0) = 0 a-t-il été démontré auparavant ? Si oui, (2)
Je te conseille de chercher à démontrer en utilisant (1) et (2).
Maru0 Sylvieg
Voici une réponse qui me paraît finale :
On a f(x+y) = f(x) + f(y) f(x) = f(x+y) - f(y)
f admet une limite sur ssi h : x f(x+y) - f(y) l'admet aussi.
On a
f(y) est une constante, donc
Donc
Et comme f(x) = h(x), alors elles admettent la même limite en -y qui est : f(0) - f(y)
En calculant l'image se -y par f(x) on trouvera qu'elle est égale à sa limite en -y.
Conclusion : f est contenue en tout point -y appartenant à .
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :