salut

Sylvieg a tout dit dans son msg de 7h28 et on ne peut pas se passer du résultat f(0) = 0 !!

soit f la fonction définie sur R telle que pour tout x et y f(x + y) = f(x) + f(y)

1/ on démontre que f(0) = 0

2/ on suppose que f est continue en 0 : donc f(x) --> f(0) = 0 quand x --> 0

or f(x + y) - f(x) = f(y)

donc il suffit de faire tendre y vers 0

...

car par définition f est continue en x <=> f(x + y) - f(x) --> 0 quand y --> 0

Salut carpediem

Tu dis qu'on ne peut pas se passer de . Mais on le peut.

Donc est-ce que ce que vous proposez avec Sylvieg est censé être plus pédagogique ? Auquel cas je comprendrais que vous mettiez cette méthode en avant.

Sachant que j'ai essayé de modifier le moins possible le raisonnement initial de Khola22, d'où le raisonnement que j'ai mis en avant.
Si tu estimes que c'est une erreur, je veux bien te faire confiance et changer de raisonnement.

Bonjour Maru0 !

i) Oui c'est vrai, je doit défibir avant tout y comme quelconque élément de . Mais, si je pose y ainsi, ai-je le droit de prendre f(y) comme une constante, du coup sa limite quand x tend vers n'importe quel nombre sera toujours f(y) ?

ii) C'est autour de l'existance de la limite, car sinon je ne pourraient jamais calculer

iii) J'ai déjà dit que f(x) = h(x) = f(x+y) - f(y)
si on calcule l'image de -y par f(x), c'est égale à f(0) - f(y).

Et à propos de :

Citation :

Je comprends ce que Sylvieg voulait te faire écrire :

f continue en a si et seulement si

Bonjour ! carpediem
D'après ce que j'ai compris des explications de Maru0, et de ce que vous avez essayé de me rendre clair, on ne peut pas tendre y vers 0 pour savoir où tend f(x+y) - f(x) sauf si on a déjà prouvé que cette limite existe en principe.

Pardon carpediem !
On a déjà que f est continue en 0, on a rien à prouver ...

Mais comment cette procédure va répondre à notre question ?

Maru0 : alors j'aimerai bien voir (au moins l'idée) ...

ou alors tu démontres d'abord que f(x - y) = f(x) - f(y)
puis on calcule la limite de f(x + y) + f(x - y) ... quand y tend vers 0

si c'est cela alors ok !!! mais il nous faut donc une hypothèse/information supplémentaire dans tous les cas

(il est cependant plus "naturel" de passer par f(0) car plus simple que par une propriété "plus complexe" à démontrer)


ici du point de vu "pédagogique" on a la définition :

f est continue en a

qui est à priori la seule chose que l'on possède

(c'est ainsi qu'on introduit en général la fonction exp par la découverte de ses propriétés en terminale
souvent même on impose f continue dans les hypothèses pour se passer de cette étape ... mais on peut s'imposer la seule continuité en 0 à partir de la seule définition rappelée plus haut)

Khola22  : sylvieg et moi-même avons tout dit ... de ce qu'on attend "normalement" (= naturellement) en terminale ...

Pour carpediem :
En montrant
on a la continuité en pour tout , donc la continuité sur
Et ce sans déterminer la valeur de .

Pour Khola22,
Quand j'ai parlé de la méthode de Sylvieg et carpediem, c'est pour parler de la méthode attendue. Mais les deux sont équivalentes, donc il n'y a pas de problème.

i) Une fois fixé, ton est lui aussi fixé. Tu peux faire bouger un autant que tu le souhaites, ton (et donc ton ) ne bougera pas.

ii) Ok, donc ce serait plutôt " admet une limite en "

iii) C'était surtout un problème de vocabulaire que je soulevais. Tu écris l'image de par . Ici c'est quoi ?
Si est fixé, alors désignerait la fonction constante égale à . Auquel cas l'image de par serait .
Je sais que ce que tu avais en tête s'écrit "l'image de par ", mais ce n'est pas ce que tu as écrit, donc j'ai préféré revenir dessus.

Maru0 : ok d'accord ...

mais je pense que c'est un peu un jeu d'écriture et donc artificiel

de f(x + y) = f(x) + f(y) on a immédiatement f(y) = f(0) + f(y)

conserver donc f(0) (me) semble artificiel (comme quand on garde explicitement + 0 ou même quand on voit des ... + 1x + ...)

mais formellement et logiquement tu as raison

Pour Maru0 :

Ah oui c'est plutôt la différence entre f et f(x).
Merci bien pour la remarque !

Pour Maru0 et carpediem :

Expliquez moi s'il vous plaît la deuxième méthode que vous avez discuté, j'ai mal compris le but de toute la procédure que carpediem a suggéré à 11:53, ça me semble vide car je n'ai pas saisi le but et surtout  le rôle de f(0) = 0.  Et comme cela est plus pédagogique ( même si la méthode de Maru0 m'est parfaitement comprise), je dois absolument l'avoir en tête aussi !

Sylvieg détaille un peu la méthode de carpediem dans ce lien : continuité d'une fonction