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Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 11:43

Bonjour,

Je comprends ce que Sylvieg voulait te faire écrire :

f continue en a si et seulement si \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)

Or cela est équivalent à l'existence d'une limite, ce qui est plus simple à montrer ici.
Et qui est bien équivalent puisque, par le même argument que je donnais dans mon exemple, si on prend la suite constante à a, on obtient que cette limite est nécessairement f(a)

Khola22 pour ton message de 10h02, tout me paraît correct à part
i) Il faudrait fixer y \in \mathbb{R}
ii) Que signifie "f admet une limite sur \mathbb{R}" ?
ii) préciser ce qu'est x lorsque tu l'écris (par exemple que signifie
"En calculant l'image se -y par f(x) on trouvera qu'elle est égale à sa limite en -y." ?)

Posté par
carpediem
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 11:53

salut

Sylvieg a tout dit dans son msg de 7h28 et on ne peut pas se passer du résultat f(0) = 0 !!

soit f la fonction définie sur R telle que pour tout x et y f(x + y) = f(x) + f(y)

1/ on démontre que f(0) = 0

2/ on suppose que f est continue en 0 : donc f(x) --> f(0) = 0 quand x --> 0

or f(x + y) - f(x) = f(y)

donc il suffit de faire tendre y vers 0

...

car par définition f est continue en x <=> f(x + y) - f(x) --> 0 quand y --> 0

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 12:27

Salut carpediem

Tu dis qu'on ne peut pas se passer de f(0) = 0. Mais on le peut.

Donc est-ce que ce que vous proposez avec Sylvieg est censé être plus pédagogique ? Auquel cas je comprendrais que vous mettiez cette méthode en avant.

Sachant que j'ai essayé de modifier le moins possible le raisonnement initial de Khola22, d'où le raisonnement que j'ai mis en avant.
Si tu estimes que c'est une erreur, je veux bien te faire confiance et changer de raisonnement.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 12:44

Bonjour Maru0 !

i) Oui c'est vrai, je doit défibir avant tout y comme quelconque élément de . Mais, si je pose y ainsi, ai-je le droit de prendre f(y) comme une constante, du coup sa limite quand x tend vers n'importe quel nombre sera toujours f(y) ?

ii) C'est autour de l'existance de la limite, car sinon je ne pourraient jamais calculer l = \lim_{x\rightarrow-y } f(x)

iii) J'ai déjà dit que f(x) = h(x) = f(x+y) - f(y)
si on calcule l'image de -y par f(x), c'est égale à f(0) - f(y).

Et à propos de :

Citation :

Je comprends ce que Sylvieg voulait te faire écrire :

f continue en a si et seulement si \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)


Je pense que j'ai déjà trouvé que ma limite vers -y et l'image de -y sont égales. Où est le problème encore ?

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 12:51

Bonjour ! carpediem
D'après ce que j'ai compris des explications de Maru0, et de ce que vous avez essayé de me rendre clair, on ne peut pas tendre y vers 0 pour savoir où tend f(x+y) - f(x) sauf si on a déjà prouvé que cette limite existe en principe.

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 13:05

Pardon carpediem !
On a déjà que f est continue en 0, on a rien à prouver ...

Mais comment cette procédure va répondre à notre question ?

Posté par
carpediem
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 13:17

Maru0 : alors j'aimerai bien voir (au moins l'idée) ...

ou alors tu démontres d'abord que f(x - y) = f(x) - f(y)
puis on calcule la limite de f(x + y) + f(x - y) ... quand y tend vers 0

si c'est cela alors ok !!! mais il nous faut donc une hypothèse/information supplémentaire dans tous les cas

(il est cependant plus "naturel" de passer par f(0) car plus simple que par une propriété "plus complexe" à démontrer)


ici du point de vu "pédagogique" on a la définition :

f est continue en a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \iff \lim_{x \to a} [f(x) - f(a)] = 0

qui est à priori la seule chose que l'on possède

(c'est ainsi qu'on introduit en général la fonction exp par la découverte de ses propriétés en terminale
souvent même on impose f continue dans les hypothèses pour se passer de cette étape ... mais on peut s'imposer la seule continuité en 0 à partir de la seule définition rappelée plus haut)

Khola22  : sylvieg et moi-même avons tout dit ... de ce qu'on attend "normalement" (= naturellement) en terminale ...

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 13:31

Pour carpediem :
En montrant \forall y \in \mathbb{R}, f(x) \underset{x \to -y}{\longrightarrow} f(0) - f(y)
on a la continuité en -y pour tout y, donc la continuité sur \mathbb{R}
Et ce sans déterminer la valeur de f(0).

Pour Khola22,
Quand j'ai parlé de la méthode de Sylvieg et carpediem, c'est pour parler de la méthode attendue. Mais les deux sont équivalentes, donc il n'y a pas de problème.

i) Une fois y fixé, ton f(y) est lui aussi fixé. Tu peux faire bouger un x autant que tu le souhaites, ton y (et donc ton f(y)) ne bougera pas.

ii) Ok, donc ce serait plutôt "f admet une limite en -y"

iii) C'était surtout un problème de vocabulaire que je soulevais. Tu écris l'image de y par f(x). Ici c'est quoi x ?
Si x est fixé, alors f(x) désignerait la fonction constante égale à f(x). Auquel cas l'image de -y par f(x) serait f(x).
Je sais que ce que tu avais en tête s'écrit "l'image de -y par f", mais ce n'est pas ce que tu as écrit, donc j'ai préféré revenir dessus.

Posté par
carpediem
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 13:43

Maru0 : ok d'accord ...

mais je pense que c'est un peu un jeu d'écriture et donc artificiel

de f(x + y) = f(x) + f(y) on a immédiatement f(y) = f(0) + f(y)

conserver donc f(0) (me) semble artificiel (comme quand on garde explicitement + 0 ou même quand on voit des ... + 1x + ...)

mais formellement et logiquement tu as raison

Posté par
Khola22
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 14:22

Pour Maru0 :

Ah oui c'est plutôt la différence entre f et f(x).
Merci bien pour la remarque !

Pour Maru0 et carpediem :

Expliquez moi s'il vous plaît la deuxième méthode que vous avez discuté, j'ai mal compris le but de toute la procédure que carpediem a suggéré à 11:53, ça me semble vide car je n'ai pas saisi le but et surtout  le rôle de f(0) = 0.  Et comme cela est plus pédagogique ( même si la méthode de Maru0 m'est parfaitement comprise), je dois absolument l'avoir en tête aussi !

Posté par
Maru0
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 14:30

Sylvieg détaille un peu la méthode de carpediem dans ce lien : continuité d'une fonction

Posté par
carpediem
re : f(x+y) = f(x) + f(y) 15-11-20 à 15:56

carpediem @ 15-11-2020 à 11:53

salut

Sylvieg a tout dit dans son msg de 7h28 et on ne peut pas se passer du résultat f(0) = 0 !!

soit f la fonction définie sur R telle que pour tout x et y f(x + y) = f(x) + f(y)

1/ on démontre que f(0) = 0

2/ on suppose que f est continue en 0 : donc f(x) --> f(0) = 0 quand x --> 0

or f(x + y) - f(x) = f(y)

donc il suffit de faire tendre y vers 0

...

car par définition f est continue en x <=> f(x + y) - f(x) --> 0 quand y --> 0

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