Bonjour,
@crackito34,
C'est l'autre implication qui est facile à démontrer.

C'est à dire si f continue en 0 alors .

Indice : il va y avoir du

Aucun si on a un cours cohérent ...

Premièrement, merci pour la correction de l'énoncé, je me suis un peu embrouillé sans m'en rendre compte

Deuxièmement, ma première implication est-elle correcte ?

Dernièrement, je propose de prouver l'implication comme ci mais sans certitude au niveau de la rigueur :

Soit f une fonction continue en 0

J'aimerais tenté un truc comme : pour tout entier naturel n non nul, 1/n>0
Comme f est croissante, f(1/n)>f(0)

J'ai un doute si on peut passer à la limite quand il s'agit d'inégalités. De plus, est-ce la bonne voie ?

Ceci ne va pas :

Citation :
Comme : il existe donc bel et bien une limite en 0, c'est f(0) d'après l'hypothèse donc par définition, f est continue en 0.

je viens de retrouver un théorème dans mon cours qui peut s'avérer utile

Soit la suite (u_n)=(1/n) qui tend vers 0 quand n tend vers +inf

f(u_n) = f(0) (hypothèse de l'implication en question)

D'après la caractérisation séquentielle de la continuité,  f est continue en a

Tu devrais relire cette caractérisation.

Pourrait-il être au moins utile ici ?

Non.
Tu as deux démonstration à faire :
1) Si f continue en 0 alors .
Là, le fait que f est croissante ne sert pas.
2) Si f est croissante sur [0;+[ et alors f continue en 0.

Démontrer 1) est facile.
Je veux bien t'aider à le faire.
Démontrer 2) l'est moins.
Je laisserai d'autres te donner un coup de main.

Mais pour les deux, il faudra faire preuve de précision et de rigueur.
Déjà, quand tu évoqueras une implication, prends soin de préciser si c'est celle du 1) ou celle du 2).

1)

Soit f continue en 0

Donc il existe

On pose pour tout : x=1/n

ici, cela me parait bizarre de mettre un n appartenant aux réels (je sais bien que c'est une variable comme une autre mais ce n'est pas commun, il faut le reconnaître, d'où une potentielle erreur)

Par conséquent, quand x tend vers 0, 1/n tend vers + inf

Donc il existe