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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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f^k contractante et unique point fixe de f

Posté par
superjuju45
10-10-20 à 01:57

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre le problème suivant :

Soit (X,d) un espace métrique complet non vide et f\; : \; X\rightarrow X une application. On suppose qu'il existe un entier k2 tel que
f^k=f\circ f \circ ....\circ f (k fois) soit contractante. Montrer que f possède un unique point fixe.
Indication. f^k\circ f = f \circ f^k

J'ai essayé de montrer que f est contractante de fk(X) dans lui même pour lui trouver un point fixe dans cet ensemble mais je n'ai pas réussi à montrer que ce dernier ensemble est complet, je montre ce que j'ai fait :

On suppose que
K[0;1[ tel que (x,y)X,
d(f^k(x),f^k(y))\leq Kd(x,y) 
 \\ \; en \; particulier \;
 \\ d(f^k(x),f^k(y))\leq Kd(f^{k-1}(x),f^{k-1}(y))
(car on montre par récurrence que
X\supset f(X)\supset .... \supset f^{k-1}(X) 
 \\ \; donc, \; f^k(x),f^k(y)\in X)
donc
f_{|f^{k-1}(X)}:f^{k-1}(X)\rightarrow f^{k-1}(X) vérifie
(x',y')(fk-1(X))²

d(f(x'),f(y'))Kd(x',y'))

du coup j'ai la bonne égalité ... mais il me reste à montrer que :
xfk-1(X), f(x) reste bien dans fk-1(X) et que fk-1(X) est bien complet (mon objectif étant d'utiliser le théorème du point fixe).
Mais je ne vois pas comment montrer tout ça, c'est pourquoi je fais appel à votre aide pour savoir dans un premier temps si ma piste est bonne.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Zormuche
re : f^k contractante et unique point fixe de f 10-10-20 à 05:19

Salut

Pas besoin de faire tout ça (en fait, je ne sais même pas si f est forcément contractante)

tu peux utiliser directement les propriétés de f_k d'après le théorème du point fixe

Posté par
Zormuche
re : f^k contractante et unique point fixe de f 10-10-20 à 05:24

En fait ce que je veux dire, c'est qu'on n'a pas besoin de repasser par le théorème du point fixe

On montre directement les propriétés voulues (existence et unicité d'un point fixe) à partir du fait que f_k admet un unique point fixe

Posté par
superjuju45
re : f^k contractante et unique point fixe de f 10-10-20 à 11:28

Je crois que j'ai trouvé grâce à l'indice :

On applique le théorème du point fixe à fk :

-X est complet
-f^k:X\rightarrow X (les ensembles de définition de f font partie de l'hypothèse dans notre cours)
-K[0;1[, (x,y)

d(fk(x),fk(y))Kd(x,y)

Donc !cX :
fk(c)=c
f(c)=f(f^k(c))=f^k(f(c))
or c est déjà point fixe de fk et il y a unicité du point fixe et on vient de montrer que f(c) l'est aussi donc :
!c: f(c)=c

Posté par
Zormuche
re : f^k contractante et unique point fixe de f 10-10-20 à 18:54

Tu n'as pas montré que  c  est l'unique point fixe de  f  là

Posté par
superjuju45
re : f^k contractante et unique point fixe de f 11-10-20 à 10:30

Je crois que j'ai compris pourquoi (c est l'unique point fixe de fk il est aussi point fixe de f mais ça veut pas dire que f n'en a pas d'autre):

On suppose qu'il existe c' tel que f(c')=c'

\begin{matrix} f^2(c')=f(c')=c' \\ f^3(c')=f(c')=c'\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ f^k(c')=c' \end{matrix}

(par récurrence immédiate)

donc c'est un point fixe de fk, ce point fixe est unique par théorème du point fixe donc c'=c



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