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f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinuites

Posté par
Mihawk 26-03-07 à 20:39

bonsoir, je dois montrer ce théoreme :

Citation :
Soit f : croissante.
Alors f admet un nombre au plus dénombrable de discontinuités.


Cauchy m'avait tuyauter la dessus dans un autre topic mais j'avais une petite idée...que j'ai suivi... la voici :

1ere etape : f croissante f borelienne

2e etape : borelienne nombre au plus denombrable de discontinuites

pour ma premiere etape :

je prends a<b<c où (a,b,c) 3

si il n'existe aucune discontinuité dans [a,b], il est evident que [f(a),f(b)] est un intervalle.

si il y en a, quitte a reduire l'intervalle [a,b] on peut considerer qu'il n'y en a qu'une. Notons la . Alors on a f([a,b]) = [f(a),f(-)] [f(+),f(b)]

dans tous les cas l'image d'un borelien est un borelien... donc f croissante implique f borelienne.

pour ma deuxieme étape : (c'est la que j'ai besoin de votre aide, j'ai l'impression que quelque chose ne va pas sans pourvoir dire quoi >< )

f borelienne implique f mesurable sur privé d'un ensemble de mesure nulle.

donc par contraposée : si les discontinuites sont indenombrables, l'ensemble n'est plus de mesure nulle (puisque seuls les singletons et les unions denombrables de singleton sont de mesure nulle sur R), donc f n'est pas mesurable et donc pas borelienne.

D'où la preuve du théoreme.

Je suis a peu pres certain de m'etre planté quelque part sans arriver a determiner où...

quelqu'un peut-il me dire où?

merci d'avance
Mihawk

Posté par
romure : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 20:48

euh je pense que ça hic, justement j ai du mal aussi avec le théorème de la limite monotone, mais en tout cas y a des ensembles qui ont la puissance du continu et qui sont lebesgue-négligeable comme l'ensemble de cantor http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor.

Posté par
Cauchyre : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 20:48

Bonjour,

un ensemble de mesure nulle n'est pas forcément dénombrable.

Posté par
Cauchyre : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 20:48

grillé par romu

Posté par
romure : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 20:50

Citation :
si les discontinuites sont indenombrables, l'ensemble n'est plus de mesure nulle (puisque seuls les singletons et les unions denombrables de singleton sont de mesure nulle sur R)

c'est là où perso que je pense que ça va pas.

Sinon c est quoi une fonction borélienne? c est une fonction "mesurable", "qu on rencontre en pratique", ou encore autre chose?

Posté par
Mihawkre : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 20:50

arf... voila donc le probleme ><

donc ce que j'ai fait ne mene a rien... a moins qu'il n'y ai un moyen de continuer malgre ca ^^

vais y reflechir ^^
merci ^^

Posté par
Cauchyre : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 20:58

Oui je vois pas comment s'en sortir vu que mesure nulle est un truc plus faible que dénombrabilité.

Posté par
Mihawkre : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 21:08

romu > une fonction borelienne c'est une fonction mesurable sur (X,B) où X ets un espace metrique et B la tribu borelienne

cauchy > je vois pas non plus comment m'en tirer... v devoir tout reprendre a zero

Posté par
Cauchyre : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 21:10

Tu veux trouver un autre moyen que celui que je t'avais indiqué?

Posté par
romure : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 21:19

on peut se ramener sur un intervalle fermé borné I et montrer que pour tout n \geq 1,
et pour toute suite de points x_1, ..., x_m de points de I tels que
f(x_i^+) - f(x_i^n) \geq \frac{1}{n} est au plus dénombrable.
Et comme R est une réunion au plus dénombrable d'intervalles du type de I, on a fini.

mais c est pas le même plan que tu proposais mihawk.

Posté par
romure : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 21:21

je suis vraiment pas clair, c est la suite de points x_1, ..., x_m que je voulais montrer qu elle est au plus dénombrable.

Posté par
romure : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 21:27

je retape parce qu en fait je crois que c est pas clair du tout (grrr!)

on peut se ramener sur un intervalle fermé borné I=[\beta, \gamma] et montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1,

étape 1)
montrer que toute suite de points x_1, ..., x_m de points de I telles que
f(x_i^+) - f(x_i^-) \geq 1 est au plus dénombrable.

étape 2)
R est une réunion au plus dénombrable d'intervalles fermés bornés,
et une union au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable.

Posté par
romure : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 21:32

mais j en peux plus !

je voulais dire pour l étape 1 :

montrer que
pour tout entier n \geq 1 ,
toute suite de points x_1, ..., x_m de points de I telles que
f(x_i^+)-f(x_i^-) \geq \frac{1}{n}
est au plus dénombrable.

je crois que c est bon cette fois

Posté par
romure : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 21:34

non lol, encore zappé, faut considérer les x_1, ..., x_m deux à deux distincts et ordonnés (plus pratique) tels que x_1 < ... x_m .

Posté par
Mihawkre : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 26-03-07 à 22:13

courage romu tu vas y arriver ^^

c'est ce que m'avait dit cauchy ta methode ^^

je crois que je vais essayer ca...

cauchy > non j'ai rien contre ta methode mais j'avais un truc en tete alors je voulais voir ce que ca donnait ^^

Posté par
elhor_abdelali Correcteur f : R -> R croissante => nombre dénombrable de discontinuités. 26-03-07 à 23:59

Bonsoir ;
juste une idée:
On sait qu'une fonction \fbox{f{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\croissante} admet une limite à droite et à gauche en tout point x de \mathbb{R}
notées respectivement f(x^+) et f(x^-) et définies par 2$\fbox{f(x^+)=inf\{f(t)/t\ge x\}\\f(x^-)=sup\{f(t)/t\le x\}}.


Pour \fbox{r\in\mathbb{Q}} considérons alors l'ensemble 2$\fbox{D_r=\{x\in\mathbb{R}\hspace{5}/\hspace{5}f(x^-)<r<f(x^+)\}}.
il est alors clair que l'ensemble des discontinuités de f n'est autre que 2$\fbox{D=\Bigcup_{r\in\mathbb{Q}}D_r}
montrons maintenant que chaque D_r contient au plus un élément :
sinon (par l'absurde) soit \fbox{x<y} deux réels d'un même D_r ,
par croissance de f on aurait donc \fbox{f(x)\le f(y)},
\fbox{*} On ne peut avoir \fbox{f(x)<f(y)} car alors on aurait \fbox{r<f(x^+)\le f(y^-)<r}.
\fbox{*} Et on ne peut avoir \fbox{f(x)=f(y)} car (toujours par croissance) f serait constante sur [x,y] ce qui donnerait \fbox{r<f(x^+)=f(y^-)<r}. (sauf erreur bien entendu)

Posté par
Mihawkre : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 27-03-07 à 07:10

tres joli!!

le seul truc que je pige pas c'est ta definition de f(x+) et f(x-) ... ca vient d'ou cette definition?

Posté par
romure : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 27-03-07 à 10:28

de la croissance de f, je pense (si c'est pour le inf et le sup)

Posté par
Mihawkre : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 27-03-07 à 11:56

ok je viens de piger... le slash c'est un "tel que" et donc pas une fraction ><

je devais etre crever hier soir ><

Posté par
romure : f : R -> R croissante a un nombre denombrable de discontinu 27-03-07 à 11:57

vi lol, ça m'arrive souvent aussi, surtout apres minuit


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