Soit z = a + ib
et z' = c + id

z.z_ = (a+ib)(a-ib) = a²+b² = 1   (1)
z'.z'_ = c² + d² = 1    (2)

(z+z')/(1+zz') = [(a+c)+i(b+d)] / [1+ (a+ib)(c+id)]
(z+z')/(1+zz') = [(a+c)+i(b+d)] / [1+ac-bd+i(bc+ad)]

On multiplie numérateur et dénominateur par [1+ac-bd-i.(bc+ad)]
->
(z+z')/(1+zz') = [(a+c)+i(b+d)] .[1+ac-bd-i(bc+ad)]
/ [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]

(z+z')/(1+zz') = ((a+c)(1+ac-bd)+(b+d)(bc+ad)) + i((b+d)(1+ac-bd)-(a+c)(bc+ad))]
/ [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]

La partie imaginaire de (z+z')/(1+zz')  est donc:
I = [(b+d)(1+ac-bd)-(a+c)(bc+ad)] / [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]

I = (b+abc-b²d+d+acd-bd²-abc-a²d-bc²-acd) / [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]

I = (b-d.(b²-a²)+d-b(d²+c²)) / [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]
avec (1) et (2) ->
I = (b-d +d-b) / [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]
I = 0 / [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]

I = 0 si  [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²] est différent de 0.
Donc après avoir vérifier que [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²] est différent , on
conclera que I, la partie imaginaire de (z+z')/(1+zz')
est nulle et donc que (z+z')/(1+zz') est réel pur.
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Reste à montrer que [(1+ac-bd)²+(bc+ad)²] est différent de 0.

zz' = (a+ib)(c+id) = ac - bd + i(bc + ad) est différent de -1

Donc
a) soit ac - bd différent de -1 et alors (1 + ac - bd) est différent
de 0 ->[(1+ac-bd)²+(bc+ad)²] est différent de 0.

b) soit ac - bd = -1 mais alors comme zz' est différent de -1,
on doit avoir  bc + ad différent de 0 ->[(1+ac-bd)²+(bc+ad)²] est
différent de 0.

Donc on a bien ->[(1+ac-bd)²+(bc+ad)²] est différent de 0.
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Sauf distraction.

C'était la manière longue et avec calculs mais tant pis.