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Facteurs premiers congrus à +-1

Posté par
fabo34 05-07-24 à 12:03

Bonjour à tous

Retour sur les fonctions $f_n(u,v)= \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k, ~n=2m+1$
Ici on se restreindra à n premier et (u,v) premiers entre eux de parité différente.

A priori cette fonction ne retourne que des nombres dont la décomposition ne comporte que des facteurs ≡±1 [n] . On a même $f_n(u²,v²)$ avec uniquement des facteurs  ≡1 [n]

Il est immédiat de voir que $f_n(u,v)=u^m+nP(u,v)$ .
Donc $f_n(u²,v)\equiv1 [n]$ et $f_n(u,v)\equiv \pm1 [n]$ d'après le petit théorème de Fermat .

Mais pourquoi cela s'appliquerait-il aussi sur les facteurs premiers?
Qu'en pensez-vous?
Voici quelques exemples: (je n'ai pas trouvé de contre-exemples)

u= 5 v= 8 n= 11
fn(u²,v²)=23×7792000943≡1×1[n]
fn(u²,v)= 23×109×269939≡1×-1×-1[n]
fn(u,v)=  12571373≡1[n]

u= 5 v= 8 n= 7
fn(u²,v²)=6274633≡1[n]
fn(u²,v)= 307×587≡-1×-1[n]
fn(u,v)=  97×197≡-1×1[n]

u= 3 v= 10 n= 13
fn(u²,v²)=9491×5316935651 ≡1×1[n]
fn(u²,v) =53×58104437 ≡1×1[n]
fn(u,v)  =266943769 ≡1[n]

u= 3 v= 10 n= 5
fn(u²,v²)=11×41×131 ≡1×1×1[n]
fn(u²,v) =1481 ≡1[n]
fn(u,v)  =809 ≡-1[n]

Posté par re : Facteurs premiers congrus à +-1 05-07-24 à 12:12

Mince. Mauvais copier/coller. Points de (x,y) ici, mais (u,v)

$f_n(u,v)=\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k}$

Posté par re : Facteurs premiers congrus à +-1 07-07-24 à 15:33

Je reposte avec une meilleure présentation:

$\begin{array}{l}{f_{ 3 }( 1 ^2, 2 ^2) = 13 \equiv1[ 3 ] \ \\ f_{ 5 }( 1 ^2, 2 ^2) = 121 =11×11 \equiv1×1 [ 5 ] \ \\ f_{ 7 }( 1 ^2, 2 ^2) = 1093 \equiv1[ 7 ] \ \\ f_{ 11 }( 1 ^2, 2 ^2) = 88573 =23×3851 \equiv1×1 [ 11 ] \ \\ f_{ 13 }( 1 ^2, 2 ^2) = 797161 \equiv1[ 13 ] \ \\ f_{ 19 }( 1 ^2, 2 ^2) = 581130733 =1597×363889 \equiv1×1 [ 19 ] \ \\ f_{ 23 }( 1 ^2, 2 ^2) = 47071589413 =47×1001523179 \equiv1×1 [ 23] \ \\ f_{ 29 }( 1 ^2, 2 ^2) = 34315188682441 =59×28537×20381027 \equiv1×1×1 [ 29 ] \ \\ f_{ 31 }( 1 ^2, 2 ^2) = 308836698141973 =683×102673×4404047 \equiv1×1×1 [ 31 ] \ \\ f_{ 37 }( 1 ^2, 2 ^2) = 225141952945498681 =13097927×17189128703 \equiv1×1 [ 37 ] \ \\ f_{ 41 }( 1 ^2, 2 ^2) = 18236498188585393201 =83×2526913×86950696619 \equiv1×1×1 [ 41 ] \\ \end{array}$

Je suis content. L'an dernier, j'avais découvert les $f_k=(k+1)^2 + k^2$ qui ne donnaient que des facteurs premiers en 1[4] (car divise une somme de carrés copremiers). Là,on a les $f_n(u^2,v^2)$ qui font ça en 1[n], (n premier)

Y-a-t-il d'autres fonctions qui font cela? Est-ce connu?
Comment s'attaquer à une preuve?

Ne me laissez pas seul la dessus cet été!!

Posté par re : Facteurs premiers congrus à +-1 24-07-24 à 14:34

Allez, une petite relance pour (éventuellement ceux qui n'auraient pas vu) . Peut-être plutôt avec cette petite fonction $f_n(k)=(k+1)^n-k^n$

Théorème (caché de Fermat?):
Pour n premier, les $f_n(k)$ n'ont que des facteurs premiers en $1[n]$ . Autrement dit, la différence de 2 puissances consécutives n'a que des facteurs premiers en $1[n]$

Ça vous parle? Plus généralement, ça se vérifie pour $\dfrac{x^n-y^n}{x-y}$ , $(x,y)$ premiers entre eux et $n\nmid (x-y)$

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