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Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 06-04-20 à 12:23

Bref je ne vois toujours pas de démonstration rigoureuse de la formule avec la partie entière.

Posté par
XZ19re : Factorielles 06-04-20 à 13:24

Pour comprendre la formule de @Matheuxmatou:  tu devrais  prendre  un exemple simple  tel que n=456 et tu réponds aux questionx suivantex.  

1)  Combien  a-t-on  de multiples de  5  (excepté 0) inférieurs ou   égaux  à  456?

2)  Combien  a-t-on  de multiples de  5^2  (excepté 0) inférieurs ou égaux   à  456?....

3)....  

Normalement  avec  ça, tu dois retrouver le nombre de 0  dans 456:  
la formule \sum_{k=1}^\infty E(\dfrac{456}{5^k} \\

Posté par
XZ19re : Factorielles 06-04-20 à 13:25

correction  nombre de zéros dans 456!  

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 06-04-20 à 18:13

Ramanujan @ 06-04-2020 à 12:23

Bref je ne vois toujours pas de démonstration rigoureuse de la formule avec la partie entière.


ce que je donne ce sont des pistes pour faire une démonstration propre... pas une démonstration complète et rigoureuse... que tout matheux doit pouvoir établir à partir des indications fournies.

j'en ai marre de faire des démonstrations complètes à ton intention pour m'entendre dire ensuite que c'est tordu, compliqué et que tu ne comprends pas

Posté par
malou Webmasterre : Factorielles 06-04-20 à 18:24

Ramanujan @ 06-04-2020 à 12:23

Bref je ne vois toujours pas de démonstration rigoureuse de la formule avec la partie entière.

Ramanujan
tu ne vois donc pas que sur un site comme sur un autre, nous avons tous le même avis...

matheuxmatou, on se sent moins seul, chacun son tour !

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 06-04-20 à 18:31

effectivement malou ... fil intéressant !

c'est même incroyable qu'il ose avouer qu'il fait les exercices de niveau lycée sans difficulté alors que le problème posé ici, je le faisais justement avec mes élèves de TS il y a une quinzaine d'années... quand Rama y était justement

bref...

il devrait lire l'excellent roman de G. Kenedy O'Toole : "la conjuration des imbéciles" ...

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 07-04-20 à 01:45

Oui c'est un exercice de terminale intéressant et pas si facile.
Je devrais lire ce livre pourquoi pas.
@Matheux vous avez raison en réfléchissant un peu j'ai compris.

Il faut noter qu'on a plus de multiples de 2 que de multiples de 5 dans la décomposition en facteurs premiers, il suffit de compter le nombre de multiples de 5^k.

@XZ19
Merci.
Le nombre de multiples de 5 distincts de 0 inférieurs à 456 :
0 <5k \leq 456 \Leftrightarrow 0<k \leq 91,2
Le plus grand entier inférieur à 91,2 est E(91,2)=91
Il y a donc card [|1,91|]=91 multiples de 5 inférieurs à 456.

Le nombre de multiples de 5^2 distincts de 0 inférieurs à 456 :
0 <25k \leq 456 \Leftrightarrow 0<k \leq 18,4
Le plus grand entier inférieur à 18,4 est E(18,4)=18
Il y a donc card [|1,18|]=18 multiples de 5^2 inférieurs à 456.

Le nombre de multiples de 5^3 distincts de 0 inférieurs à 456 :
0 <125k \leq 456 \Leftrightarrow 0<k \leq 3,648
Le plus grand entier inférieur à 3,648 est E(3,648)=3
Il y a donc card [|1,3|]=3 multiples de 5^3 inférieurs à 456.

Or 5^4=625 > 456 il n'y a aucun multiple de 5^4

Ainsi le nombre de multiple de 5^k vaut 91+18+3=112

Mais comment prouver que 5 \times 2^n donne forcément un seul 0.

Puis 5^2 2^n donne forcément deux 0.

Etc ?

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 07-04-20 à 01:50

Le nombre de 0 vaut \sum_{k=1}^{+\infty} E(\dfrac{n}{5^k}})

En effet, si k est assez grand de sorte que \dfrac{n}{5^k}} <1 alors E(\dfrac{n}{5^k}})=0

Donc Matheux inutile de se compliquer la vie avec le N= E( \log(n)). D'ailleurs comment vous l'obtenez ?

Posté par
XZ19re : Factorielles 07-04-20 à 07:59

Bonjour  
Bon j'ai décortiqué le travail mais c'est à toi de  faire l'effort.
Par ailleurs ta   dernière question "comment vous faites pour l'obtenir? " montre  que tu n'as  toujours pas compris.

A partir de quelle  valeur  entière k  a-t-on  \dfrac{n}{5^k}<1?   
Et bien tu  est prof de physique, tu vises l'Agrégation   de math ... alors résous le problème toi même!

Posté par
XZ19re : Factorielles 07-04-20 à 07:59

tu es  

Posté par
carpediemre : Factorielles 07-04-20 à 08:38

ouais tout simplement il ne connait pas la fonction x \mapsto \log_a n de base a > 0...

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 07-04-20 à 08:46

Bonjour,
En effet merci.

\dfrac{n}{5^k} <1 \Leftrightarrow n <5^k \Leftrightarrow \ln n < k \ln 5 \Leftrightarrow k > \dfrac{ \ln n}{\ln 5}

Le plus petit entier plus grand que \dfrac{ \ln n}{\ln 5} est E(\dfrac{ \ln n}{\ln 5})+1

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 07-04-20 à 08:48

@Matheux
Comment vous faites pour vous souvenir d'autant de choses du supérieur si vous êtes prof de terminale ?

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 07-04-20 à 10:28

Ramanujan

CarpeDiem a très bien expliqué d'où vient mon logarithme...

en terminale les somme jusque l'infini n'existaient pas ... surtout qu'il n'y a qu'un nombre fini de termes.

Ramanujan @ 07-04-2020 à 08:48


Comment vous faites pour vous souvenir d'autant de choses du supérieur si vous êtes prof de terminale ?


Comme beaucoup d'autres ici... j'entretiens mon cerveau... par exemple en venant ici. Ce site est formidable pour ça et permet de continuer à faire des maths en choisissant en plus ses sujets et en essayant d'aider les autres.

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 07-04-20 à 10:41

Et la partie entière est au programme ?

On peut définir une somme infini comme une limite d'une somme partielle.

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 07-04-20 à 10:49

oui, la partie entière était au programme !

et je sais comment définir une somme infinie ... simplement c'était hors-programme !

Posté par
malou Webmasterre : Factorielles 07-04-20 à 10:50

Ramanujan @ 07-04-2020 à 10:41

Et la partie entière est au programme ?


que oui ! et de "ton temps" aussi !

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 07-04-20 à 10:51

tout à fait malou

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 07-04-20 à 10:51

de même que les log base a

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 07-04-20 à 11:03

Les log base a c'est facile.

La partie entière c'est pas évident, même parfois je lis des rapports de concours comme Mines Ponts ou Centrale où ils disent que les candidats ne connaissant pas l'inégalité fondamentale de la partie entière E(x) \leq x < E(x)+1
Dans les rapports, ils disent que les étudiants ont des difficultés à manipuler les parties entières.

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 07-04-20 à 11:15

et alors ? c'est un constat, pas une excuse

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 07-04-20 à 11:16

Je commence à comprendre l'importance de la partie entière dans les raisonnements, j'ai longtemps galéré.

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