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factorisation

Posté par
smir
12-03-23 à 22:29

Bonsoir
Pouvez vous m'aider pour la factorisation de

3y^2+x^2-4xy+2x-6y

J'ai essayé de trouver des pistes mais ça ne marche pas

Posté par
lake
re : factorisation 12-03-23 à 22:39

Bonsoir,
S'agirait-il de « réduire » l'équation d'une conique ?
Si tel est le cas, une « factorisation » n'est pas la meilleure piste ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : factorisation 12-03-23 à 22:45

\Large\boxed{3y^2+x^2-4xy+2x-6y=\left(x-3y\right)\left(x-y+2\right)}

Posté par
smir
re : factorisation 12-03-23 à 22:46

Bonsoir,
Non la question c'est de factoriser l'expression

Posté par
lake
re : factorisation 12-03-23 à 22:47

Bonsoir elhor,
J'allais rectifier le tir

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : factorisation 12-03-23 à 22:49

Bonsoir lake

Posté par
smir
re : factorisation 12-03-23 à 23:03

Bonsoir comment vous avez fait pour factoriser

Posté par
GBZM
re : factorisation 13-03-23 à 08:43

Bonjour,
L'idée de lake n'était pas si mauvaise  : on peut commencer par regrouper tous les termes qui contiennent x :
x^2-4xy+2x
et compléter le carré pour avoir
(x-2y+1)^2
Que reste-t-il alors ?
Pour un polynôme du second degré, factoriser en produit de deux facteurs du premier degré (quand c'est possible) peut bien se faire via une décomposition en carrés de Gauss.

Posté par
matheux14
re : factorisation 13-03-23 à 09:32

Salut,

Il suffit de trouver deux binômes de la forme (ay + bx + c) et (dy + ex + f) qui se multiplient pour donner l'expression originale.

D'abord dans 3y² + x² - 4xy + 2x - 6y tu as
x² - 4xy + 3y², qui fait quand même penser à (x - 3y)*machin.. Et bien il y aura toujours ce machin si tu veux 3y² + x² - 4xy + 2x - 6y.

Du coup

3y² + x² - 4xy + 2x - 6y = (x - 3y)(ax + by + c)

En développant l'expression de droite, on a bien sûr :

a x² + b xy + c x - 3a xy - 3 b y² - 3c y

= a x² + (b - 3a) xy + c x - 3c y -3b y²

Par identification on a :

a = 1 ; b - 3a = -4 ; c = 2 ; -3c = -6 ; -3b = 3

a = 1 ; b = -1 et c = 2.

Donc

3y² + x² - 4xy + 2x - 6y = (x - 3y)(x + -y + 2).

Posté par
matheux14
re : factorisation 13-03-23 à 10:46

Ou si tu vois en y, tu peux mettre le 3 en facteur.

3(y² + x²/3 - (4/3) xy + (2/3)x - 2y)

= 3(y² - (4/3)xy + x²/3 + (2/3) x - 2y)

= 3(y - x/3)*(ax + by + c)

Tu développes, puis par identification :

a = -1 ; b = 1 et c = -2.

3y² + x² - 4xy + 2x - 6y = 3(y - x/3)(y - x - 2)

= (3y - x)(y - x -2)

C'est la même chose que (x - 3y)(x -y + 2).

Posté par
GBZM
re : factorisation 14-03-23 à 10:50

La décomposition en carrés offre l'avantage d'être une méthode systématique pour factoriser les polynômes du second degré : pas besoin de deviner quoi que ce soit.



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