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Factorisation d’un polynôme à deux variables
Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide pour la question 3 de cette exercice s'il vous plaît:
Soit Pn(z)=z^3+nz^2+z+n
1)Déterminer les racines des polynômes Po, P1 et P-2 (il s'agit de l'indice n)
2)Démontrer que pour tout entier n, -n est une racine de Pn
3)En déduire une factorisation de Pn, puis l'ensemble des racines de ce polynôme
Voici je que j'ai fait:
1) Po(z)=z^3+z
Il n y'a pas de racine.
P1(z)=z^3+z^2+z+1
S={-1;-i et i}
P-2(z)=z^3-2z^2+z-2
S={2;-i et i}
2) Si -n est une racine de Pn(z), alors,
Pn(z)=z^3+nz^2+z+n
Pn(-n)=0
3)Je sais pas comment factoriser Pn en trouvant une racine évidente de n pour que Pn(z)=0..
Bonsoir
trois racines
Question 3 on vous dit que est une racine de
N'est-ce pas une racine évidente ?
salut
ce n'est pas un polynome à deux variables : la variable est z (puisqu'il est écrit P(z)) et n est un paramètre !!
1/ P0 est évidemment factorisable !!
et pour les deux autres peux-tu montrer comment ?
2/ ce n'est pas "si -n est racine" mais montrer que -n est racine!!!
donc que faut-il faire ?
3/ si tu as su faire P_1 et P_2 alors p_n est immédiat
Bonjour
tu n'as pas deux variables mais une seule qui est z
n est un paramètre, c'est à dire quelque chose de connu, mais qui peut changer de valeur
3) relis la question 2 
Po(z)=z(z^2+1)
Je vois vous avez factorisé par z, mais comment ce fait-il qu'il y'a 3 racine j'en trouve aucune, comment trouver la première racine évidente ?
tu travailles dans C ... ne l'oublie pas
vu ta question je ne comprends pas comment tu as pu trouver les deux autres ... 
Sa solution, c'est lorsque que le polynôme s'annule est vaut 0. Je comprends qu'il faut que je factorise par Pn(z)=(z-a) Q(z), mais j'avais pas vue de racine évidente. Je comprends quel est la racine de P0(z)=z(z^2+1)
ok ... mais l'ensemble manque singulièrement de rigueur :
une racine d'un polynome est un (réel si on est dans R) comlexe qui annule ce polynome :
si a est racine de P alors P(a) = 0
si P(a) = 0 alors (par définition) a est une racine de P (réciproque de la définition)
et comme tu l'as écrit P se factorise en P(z) = (z - a)Q(z) (1)
si P(z) z(z^2 + 1) ne vois-tu pas de racine évidente ? compare avec l'écriture (1)
ensuite qu'as-tu découvert de fondamental quand tu as rencontré les complexes ?
ok mais il serait bien à nouveau de justifier les valeurs i et -i très simplement
quelle propriétés fondamentale as-tu découvert ?
et n'oublie que les opérations dans C sont les mêmes que dans R (à l'exception des racines carrées)
i et -i sont des conjugués que j'ai calculé à partir du calcul du discriminant negatif (-4 que j'ai trouvé), ce qui me fait bien deux solutions complexes conjugués
Merci @helka pour m'avoir aider, je ne voyais pas comment trouver cette racine, des choses si simple me paraisse des fois floue a force de ne plus avoir l'habitude de travailler avec.. La racine évidente était 0..
Pourquoi parler de chercher une racine évidente ? L'intérêt est de trouver une factorisation Dans , on peut mettre
en facteur sans dire que 0 est une racine évidente.
Lorsque l'on a une factorisation, alors on sait que : Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit.
il est quand même dommage de pas voir avec
et comme tu l'as écrit P se factorise en P(z) = (z - a)Q(z) (1)
si P(z) z(z^2 + 1) = (z - 0)(z^2 + 1)
ensuite il est tout aussi dommage de ne pas connaitre la propriété fondamentale des complexes :
donc i^2 + 1 = 0 et donc les racines de z^2 + 1 sont immédiatement ...
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