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Factorisation d’un polynôme à deux variables

Posté par
Miguel78
13-11-22 à 18:41

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour la question 3 de cette exercice s'il vous plaît:

Soit Pn(z)=z^3+nz^2+z+n

1)Déterminer les racines des polynômes Po, P1 et P-2 (il s'agit de l'indice n)
2)Démontrer que pour tout entier n, -n est une racine de Pn
3)En déduire une factorisation de Pn, puis l'ensemble des racines de ce polynôme

Voici je que j'ai fait:
1) Po(z)=z^3+z
Il n y'a  pas de racine.

P1(z)=z^3+z^2+z+1
S={-1;-i et i}

P-2(z)=z^3-2z^2+z-2
S={2;-i et i}

2) Si -n est une racine de Pn(z), alors,

Pn(z)=z^3+nz^2+z+n
Pn(-n)=0

3)Je sais pas comment factoriser Pn en trouvant une racine évidente de n pour que Pn(z)=0..

Posté par
hekla
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 18:46

Bonsoir

 P_0(z)=z^3+z=z(z^2+1)   trois racines

Question 3 on vous dit que -n est une racine de P_n

N'est-ce pas une racine évidente ?

Posté par
carpediem
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 18:47

salut

ce n'est pas un polynome à deux variables : la variable est z (puisqu'il est écrit P(z)) et n est un paramètre !!

1/ P0 est évidemment factorisable !!

et pour les deux autres peux-tu montrer comment ?

2/ ce n'est pas "si -n est racine" mais montrer que -n est racine!!!

donc que faut-il faire ?

3/ si tu as su faire P_1 et P_2 alors p_n est immédiat

Posté par
malou Webmaster
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 18:47

Bonjour

tu n'as pas deux variables mais une seule qui est z
n est un paramètre, c'est à dire quelque chose de connu, mais qui peut changer de valeur

3) relis la question 2

Posté par
carpediem
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 18:48

pourquoi donner la réponse ?

Posté par
Miguel78
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 18:53

Po(z)=z(z^2+1)
Je vois vous avez factorisé par z, mais comment ce fait-il qu'il y'a 3 racine j'en trouve aucune, comment trouver la première racine évidente ?

Posté par
carpediem
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 18:57

tu travailles dans C ... ne l'oublie pas

vu ta question je ne comprends pas comment tu as pu trouver les deux autres ...

Posté par
carpediem
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 18:58

c'est quoi une racine d'un polynome ?

Posté par
Miguel78
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 19:06

Sa solution, c'est lorsque que le polynôme s'annule est vaut 0. Je comprends qu'il faut que je factorise par Pn(z)=(z-a) Q(z), mais j'avais pas vue de racine évidente. Je comprends quel est la racine de P0(z)=z(z^2+1)

Posté par
malou Webmaster
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 19:08

carpediem, pour nous oui, mais ...la preuve

Posté par
Miguel78
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 19:09

Pour trouver les autres racines j'ai juste utiliser l'identification et le discriminant

Posté par
carpediem
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 19:21

ok ... mais l'ensemble manque singulièrement de rigueur :

une racine d'un polynome est un (réel si on est dans R) comlexe qui annule ce polynome :

si a est racine de P alors P(a) = 0

si P(a) = 0 alors (par définition) a est une racine de P    (réciproque de la définition)

et comme tu l'as écrit P se factorise en P(z) = (z - a)Q(z)    (1)

si P(z) z(z^2 + 1) ne vois-tu pas de racine évidente ? compare avec l'écriture (1)

ensuite qu'as-tu découvert de fondamental quand tu as rencontré les complexes ?

Posté par
Miguel78
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 19:23

Pour la 3 je trouve a =1, b=0 et c=1

Donc (z+n)(z^2+1)

Je trouve S={-n;-i et i)

Posté par
carpediem
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 19:26

ok mais il serait bien à nouveau de justifier les valeurs i et -i très simplement

quelle propriétés fondamentale as-tu découvert ?

et n'oublie que les opérations dans C sont les mêmes que dans R (à l'exception des racines carrées)

Posté par
Miguel78
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 19:28

i et -i sont des conjugués que j'ai calculé à partir du calcul du discriminant negatif (-4 que j'ai trouvé), ce qui me fait bien deux solutions complexes conjugués

Posté par
Miguel78
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 19:33

Merci @helka pour m'avoir aider, je ne voyais pas comment trouver cette racine, des choses si simple me paraisse des fois floue a force de ne plus avoir l'habitude de travailler avec.. La racine évidente était 0..

Posté par
hekla
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 19:59

Pourquoi parler de chercher une racine évidente ?   L'intérêt est de trouver une factorisation   Dans z^3+z , on  peut mettre z en facteur sans dire que 0 est une racine évidente.

Lorsque l'on a une factorisation, alors on sait que : Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit.

Posté par
carpediem
re : Factorisation d’un polynôme à deux variables 13-11-22 à 20:00

il est quand même dommage de pas voir avec

carpediem @ 13-11-2022 à 19:21

et comme tu l'as écrit P se factorise en P(z) = (z - a)Q(z)    (1)

si P(z) z(z^2 + 1) = (z - 0)(z^2 + 1)
en comparant avec (1)

ensuite il est tout aussi dommage de ne pas connaitre la propriété fondamentale des complexes : i^2 = -1

donc i^2 + 1 = 0 et donc les racines de z^2 + 1 sont immédiatement ...



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