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factorisation dans C[X] et R[X]

Posté par 1ssi (invité) 16-04-07 à 20:32

Bonjour,

Je dois factoriser ce polynome dans R[X] puis c[X].

P(X)=X^8-X^4+1

Si j'ai bien compris dans C[X] il faut factoriser par des racines complexes et regrouper celles qui pourraient être conjuguées. Il faut donc un delta negatif. On pose X^4=X

=-3

donc

R1=[1-i(3)]/2
R2=[1+i(3)]/2

donc =>
r1=(4)(R1) et r1'=-(4)(R1)
r2=(4)(R1) et r2'=-(4)(R2)

donc P(x)=(X-r1)(X-r1')(X-r2)(X-r2')

Sauf que deg(P)=8 diff de 4 comme je trouve
Je suppose mal calculer les racines en passant de X^4 à X

Et de plus dans R[X] je ne vois pas la méthode à suivre !

merci d'avance pour votre aide

Posté par
Shakefactorisation dans C[X] et R[X] 16-04-07 à 20:55

Bonsoir, juste une racine d'un complexe ca n'existe pas

Posté par
romure : factorisation dans C[X] et R[X] 16-04-07 à 20:58

salut,

dans C[X]:

tu poses Y := X^4, donc P(X) = X^8 - X^4 + 1 = Y^2 - Y + 1 := Q(Y)
tu trouves les racines y_1,\ y_2, donc P(X) = (Y - y_1)(Y - y_2) = (X^4 - y_1)(X^4-y_2).

tu factorises alors chacun de leurs côtés les polynômes P_1(X) = X^4 - y_1, et P_2(X) = X^4 - y_1. Tu poses par exemple Z := X^2, et tu cherches les racines comme avant :
tu auras donc P_1(X) = (Z - r_1)(Z - r_2) = (X^2 - r_1)(X^2 - r_2) , et P_2(X) = (X^2 - s_1)(X^2 - s_2).

Il te restera plus qu à factoriser (du boulot quand même tout ça ) les polynômes X^2 - r_1, X^2 - r_2, X^2 - s_1, et X^2 - s_2. \\ \\ Ce qui te donnera 8 plolynomes [tex]R_1,\ R_2,\ ...,\ R_8.
et donc P(X) = [/tex]R_1(X) \times ... \times R_8(X)[/tex]

Posté par
romure : factorisation dans C[X] et R[X] 16-04-07 à 21:01

Pardon pour la fin j ai pas bien écrit

Il te restera plus qu à factoriser (du boulot quand même tout ça ) les polynômes X^2 - r_1, X^2 - r_2, X^2 - s_1, et X^2 - s_2.

Ce qui te donnera 8 polynomes R_1,\ R_2,\ ...,\ R_8.
et donc P(X) = R_1(X) \times ... \times R_8(X)

Posté par
romure : factorisation dans C[X] et R[X] 16-04-07 à 21:07

dans R[X] je suis un peu paumé :>

Posté par
romure : factorisation dans C[X] et R[X] 16-04-07 à 21:20

Quand tu as trouvés toutes les racines complexes,
si tu as une racine r qui est le conjugué d'une racine s tu multiplies les deux polynomes (X-s)(X-r),
tu fais ça pour toutes les racines complexes et tu devrais trouver quatre polynômes de degré 2.
Le produit de ces quatre polynômes est la décomposition dans R[X] de P(X).

Posté par
perroquetre : factorisation dans C[X] et R[X] 16-04-07 à 21:30

Bonjour, romu

Le travail que tu as effectué t'a permis d'obtenir les 8 racines complexes de ce polynôme. Elles sont conjuguées 2 à 2. Tu regroupes:

(X-x_i)(X-conjugué(x_i)) qui est à coefficients réels.

Ceci dit, il y a plusieurs astuces qui permettent d'obtenir ta factorisation sans trop de calculs:

x^8-x^4+1= (x^4+1)^2-3x^4=(x^4+1-\sqrt{3}x^2)(x^4+1+\sqrt{3}x^2)

x^4+1+\sqrt{3}x^2=(x^2+1)^2-(2-\sqrt{3})x^2=(x^2+1-\sqrt{2-\sqrt{3}}x) (x^2+1+\sqrt{2-\sqrt{3}}x))

Même idée pour factoriser x^4+1-\sqrt{3}x^2

Et ainsi, tu as obtenu ta factorisation dans R[X], puisque les 4 polynômes du second degré obtenus sont irréductibles dans R[X]

Posté par
ottore : factorisation dans C[X] et R[X] 16-04-07 à 23:34

Bonsoir, juste une racine d'un complexe ca n'existe pas
Bonsoir,
oui ca existe, mais n'est pas unique, en général.

Posté par 1ssi (invité)re : factorisation dans C[X] et R[X] 18-04-07 à 16:50

merci de votre aide ! mais peut-on obtenir directement les 8 racines en généralisant à

ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+i=0 comme avec le second degrès ?

Posté par
perroquetre : factorisation dans C[X] et R[X] 18-04-07 à 21:43

Non, il n'y a pas de formule générale pour les équations de degré 8.
Il y en a pour les équations de degré 3, il y en a pour les équations de degré 4, mais il n'y en a pas pour les équations de degré 5 ou au-dessus (cela a été démontré par Abel pour le degré 5 et Galois pour le cas général).

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans C[X] et R[X] 19-04-07 à 14:47

Bonjour
Je me permets de signaler une solution différente: on a (X4+1)(X8-X4+1)=X12+1

Les 8 racines complexes du polynôme donné sont les racines 12-èmes de -1 qui ne sont pas des racines 4-èmes de -1. On les trouve assez facilement sous forme trigonométrique.


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