Bonjour

D'abord tu as divisé par sans te demander si c'est nul ou pas!

Quel est le degré du polynôme?

Ensuite, tu as presque la factorisation complexe; il te reste à regrouper les facteurs conjugués poue obtenir la factorisation réelle.

Normalement le dénominateur de r s'annule lorsque 2k=n par exemple si n=2 alors si k=n-1 soit 1, alors Y=-1 (e^(ipi)=-1). Que faire alors ? Dire que k varie de 0 à n-1 privé de n/2 lorsque n pair ?

f(x) est de degré n-1, mais je ne vois pas réellement a quoi sa peut servir (factorisation (une fois) de (n-1) devant les autres facteurs des racines complexes conjugués ?).

Et c'est là où est mon plus gros soucis: comment exprimer cette factorisation des facteurs conjugués en fonction de la parité/imparité de n ?

Si je prends un exemple avec n pair =2:
Alors: f(x)=(X-((e^(ikpi)-1)/(1+e^(ikpi))).(X-((e^(-ikpi)-1)/(1+e^(-ikpi)))
or ici k ne peut être égal qu'a 0 (k!= 1) donc on a f(X)=X^2 alors qu'en réalité f(X)= 4X quand on développe. (erreur de calcul ou particularité ?)

De même pour n impair=3:
Alors: f(x)=(X-((e^(ikpi/3)-1)/(1+e^(ikpi/3))).(X-((e^(-ikpi/3)-1)/(1+e^(-ikpi/3))), k variant de 0 à 2.

On pourrait alors écrire:
f(X)= Produit de (X-((e^(i2kpi/n)-1)/(1+e^(i2kpi/n))) x Produit de (X-((e^(-i2kpi)-1)/(1+e^(-i2kpi)))   avec k variant de 0 à n-1 et n impair.

Ou
f(X)= Produit de (X-((e^(i2kpi/n)-1)/(1+e^(i2kpi/n))) x Produit de (X-((e^(-i2kpi)-1)/(1+e^(-i2kpi))) avec k variant de 0 à n-1 privé de n/2 et n pair.

En tout cas merci de ta réponse !

Non, f(X), n'est pas toujours de degré et la connaissance du degré est quand même importante pour savoir combien de facteurs il y a !

Tu vois bien que ton truc ne tient pas si est pair, puisque tu n'y arrives même pas pour n=2.

Ecris complètement le cas n=3. Développe et factorise!

D'accord c'est donc à sa que sert la connaissance du degré... D'ailleurs, à ce propos, je pense avoir trouvé: f(X) de degré n lorsque n impair, et de degré n-1 lorsque n pair.

Alors je me suis trompé dans l'établissement de la racine complexe ?

Dans le cas où n=3 (petit oubli lors de mon précèdent post puisque c'est e^(i2kpi/3) et non e^(ikpi/3)

f(x)=(X-((e^(i2kpi/3)-1)/(1+e^(i2kpi/3))).(X-((e^(-i2kpi/3)-1)/(1+e^(-i2kpi/3))), k variant de 0 à 2.

k=0:
f(x)=(X-((e^(0)-1)/(1+e^(0))).(X-((e^(0)-1)/(1+e^(0)))
    =(X-((1-1)/(1+1)).(X-((1-1)/(1+1))= X^2   (il semblerait que k varie alors de 1 à n-1, parce que sinon on aurait toujours f(X)=X^2 pour k=0)

k=1:
f(x)=(X-((e^(i2pi/3)-1)/(1+e^(i2pi/3))).(X-((e^(-i2pi/3)-1)/(1+e^(-i2pi/3)))
    =X^2 - X(e^(-i2pi/3)-1)/(1+e^(-i2pi/3) - X.(e^(i2pi/3)-1)/(1+e^(i2pi/3) + ((e^(i2pi/3)-1)/(1+e^(i2pi/3)))).((e^(-i2pi/3)-1)/(1+e^(-i2pi/3)))
    =X^2 -X. ( ((e^(-i2pi/3)-1)/(1+e^(-i2pi/3)) + ((e^(i2pi/3)-1)/(1+e^(i2pi/3)) ) +3
    =X^2 +3    (d'après calculatrice: conj(r)+r=0 et conj(r)*r=3)

k=2:
f(x)=(X-((e^(i4pi/3)-1)/(1+e^(i4pi/3))).(X-((e^(-i4pi/3)-1)/(1+e^(-i4pi/3)))
    =X^2 -X. ( ((e^(-i4pi/3)-1)/(1+e^(-i4pi/3))) + ((e^(i4pi/3)-1)/(1+e^(i4pi/3))) + ((e^(i4pi/3)-1)/(1+e^(i4pi/3))).((e^(-i4pi/3)-1)/(1+e^(-i4pi/3)))
    =X^2 +3 (bizarre de trouver le même résultat avec k=2 et k=3...)

Je commence à croire que tout est faux puisque quand on développe f(X) avec n=3, on trouve 2X^3 +6X...

Bonsoir

dans le cas n=3, il peut être utile de garder à l'esprit l'identité remarquable

avec et , ça te donne

en reprenant les racines complexes, tu as avec , ou

pour , ça devient , ce qui revient à
pour , ça donne , donc

pour ça donne , donc

les deux dernières racines sont conjuguées, comme prévu

la factorisation sera : ça colle bien.

Tout d'abord merci pour cette démonstration bien expliquée !

J'arrive au même résultat en faisant:
f(X)= (n-1) [k variant de 0 à n-1] (X- ((e^(i2kpi/n)-1)/(1+e^(i2kpi/n))) )

Ce qui donne:
f(X)= 2 (X-0).(X-((e^(i2pi/3)-1)/(1+e^(2pi/3))). (X-(e^(i4pi/3)-1)/(1+e^(4pi/3)))
    = 2X. (X^2-X( ((e^(i4pi/3)-1)/(1+e^(4pi/3)) + ((e^(i2pi/3)-1)/(1+e^(i2pi/3)) ) + ( ((e^(i2pi/3)-1)/(1+e^(2pi/3)) . ((e^(i4pi/3)-1)/(1+e^(4pi/3)) )  
    =2X.(X^2 +3)

Donc de façon générale on pourrai admettre que
f(X)= (n-1) [k variant de 0 à n-1] (X- ((e^(i2kpi/n)-1)/(1+e^(i2kpi/n))) pour n impair, mais cette formule ne donne pas le bon résultat pour n=5...

Je n'ai pas trouvé de factorisation pour n pair par ailleurs.
J'ai pensé à l'identité remarquable que vous m'avez donné au degré n:
a^n - b^n = (a-b).[k variant de 0 à n-1] a^(n-1-k).b^k
mais je pense pas que cela réponds à la question posé par l'énoncé.

ce qui répond à l'énoncé c'est de regrouper les racines complexes conjuguées, en remarquant que

par ailleurs pour n impair le degré est n, et le coefficient de X^n est 2, pas n-1 ....

On aurait donc, pour n impair (si j'ai bien compris):

f(X)= 2X. [k variant de 1 à n-1] (X-( (e^(i2kpi/n)-1)/(1+e^(i2kpi/n))) )

j'ai essayé avec n=5: les racines complexes conjugués étant
-> (e^(i4pi/5)-1)/(1+e^(i4pi/5)) et (e^(i6pi/5)-1)/(1+e^(i6pi/5))  (lorsque k=2 et k=3)
-> (e^(i2pi/5)-1)/(1+e^(i2pi/5)) et (e^(i8pi/5)-1)/(1+e^(i8pi/5))  (lorsque k=1 et k=4)

mais le calcul semble être plus difficile avec ces deux dernières racines...

Auriez-vous une piste à me donner dans le cas où n est pair svp ?

En tout cas merci de l'aide, je pense être sur la bonne voie.

  

Déjà tu ferais bien de simplifier l'écriture de tes racines ...

par exemple en multipliant numérateur et dénominateur par .

tu remarquerais qu'elles sont toutes imaginaires pures, sauf celle pour k = 0 qui est nulle

tu remarquerais aussi que les conjuguées sont celles obtenues pour k et n-k.

Pas mal la simplification effectivement:

-> (e^(i2kpi/n)-1).e^(-ikpi/n) = e^(ikpi/n) - e^(-ikpi/n) = z - conj(z)
-> (1+e^(i2kpi/n)).e^(-ikpi/n) = e^(-ikpi/n) + e^(ikpi/n) = conj(z) + z

On peut même faire encore une simplification:
-> z-conj(z) = 2.i.Im(z)
-> conj(z) + z = 2.Re(z)

soit r = i.Im(z)/Re(z)   avec z= e^(ikpi/n) [k variant de 0 à n-1].

Effectivement je n'avais pas remarqué avec l'exemple de n=3...

Du coup on aurait donc pour n impair:

f(X)= 2X. [k variant de 1 à n-1] (X-r1).(X-r2)    avec r1 dépendant de k et r2 dépendant de n-k.

Me tromperais-je ? Mais je n'ai toujours pas d'idée pour n pair...

tu n'as pas repéré les tangentes ? on n'apprend plus que ?

Tangentes ? Si j'ai appris cette formule, mais je ne vois pas trop comment l'utiliser ici... Dire que e^(i2kpi/n)= cos(2kpi/n)+i.sin(2kpi/n) ?
Ou encore : r = i²sin(kpi/n) / cos(kpi/n)
              = -sin(kpi/n) / cos(kpi/n)
              = - tan(kpi/n)  (effectivement je viens de repérer les tangentes !)

Du coup pour n impair:
f(X)=2X. [k variant de 1 à n-1] (X+tan(kpi/n)) . (X+tan((n-k).pi/n))

Est-ce bon ? (je ne suis pas très confiant sur cette formule surtout pour le deuxième facteur dépendant de n-k).

Petite erreur de ma part:

r = i.sin(kpi/n) / cos(kpi/n)
              = i.sin(kpi/n) / cos(kpi/n)
              = i.tan(kpi/n)  (il faut bien qu'il y est une part de complexes !)

donc du coup:
f(X)=2X. [k variant de 1 à n-1] (X-i.tan(kpi/n)) . (X-i.tan((n-k).pi/n))   pour n impair.

ton degré est bien trop élevé ....
le produit ne va que jusque , et en utilisant les propriétés des conjugués, ça donne

reste le cas n pair ....

Avant de passer au cas n pair, j'aimerais comprendre pourquoi on a 2 en facteur lorsque n impair ?
Pour demontrer que le produit va jusque k=(n-1)/2 vous commencez par dire que n impair donc n=2k+1 d'où k=(n-1)/2 ?

Je n'arrive pas à comprendre comment vous avez fait pour avoir le facteur (X^2+tan^2(kpi/n))...

J'essaye:
f(X)=2X [k variant de 1 à (n-1)/2]  (X-i.tan(kpi/n)). (X-i.tan((n-k).pi/n))
     =2X [k variant de 1 à (n-1)/2] (X^2 -X.(i.tan((n-k).pi/n) + i.tan(kpi/n)) +i^2. tan((n-k).pi/n).tan(kpi/n)
     = 2X [k variant de 1 à (n-1)/2] (X^2 -tan((n-k).pi/n).tan(kpi/n))

Or tan((n-k).pi/n) = conj( tan(k.pi/n) )= - tan(k.pi/n)
D'où f(X) = 2X [k variant de 1 à (n-1)/2] (X^2 +tan^2(k.pi/n) )  (au final j'ai compris)

Est-ce la bonne démonstration ?
En tout cas merci de votre aide, je ne serai pas arrivé là sans vous !

c'est surtout que tan(pi - x) = - tan(x) ....
c'est ça qui fait que i tan(kpi/n) et i tan((n-k)pi/n) sont conjugués.

pour savoir jusqu'où va le produit, il va jusqu'au milieu puisque les termes pour 1 et n-1, pour 2 et n-2... sont conjugués
au milieu on a deux termes consécutifs, mettons p et p+1, qui sont aussi tels que n-p = p+1 : d'où p = (n-1)/2

et le 2 vient de ce que quand on développe , les termes en sont car n impair.

D'accord je comprends mieux maintenant !

Donc du coup lorsque n pair, k varie de 1 à n/2, puisque au milieu on a n-p =p.

Mais alors quand n pair on a X^n - X^n =0 (justifiant le fait que f(X) de degré n-1 lorsque n pair), par contre on a bien 2.C. X^(n-1) pour les termes en X^(n-1), C étant le coefficient devant X^(n-1) que l'on peut déterminer avec le triangle de Pascal en fonction de la valeur de n.

De même, la racine complexe itan(kpi/n) n'est pas valide pour n=2. Il faudrait donc trouver une autre racine ? Ou utilisé la forme originelle ?

Je pense avoir trouvé la factorisation de f(X) pour n pair:

Tout d'abord, après vérification, il apparait que le coefficient C vaut n car c'est le coefficient du degré n-1 et que celui-ci vaut toujours n d'après le triangle de Pascal.

Ensuite, k va de 1 à (n/2)-1 car n/2 est une valeur interdite: en effet, tan^2(kpi/n) n'est pas défini pour k=n/2 (on aurait alors tan^2(pi/2) or pi/2 n'appartient pas au domaine de définition de tan). par contre je ne sais pas démontré pourquoi cette valeur est-elle interdite...

On a donc pour n pair:

f(X)= 2nX. [k variant de 1 à (n/2)-1] ( X^2+tan^2(kpi/n) )

Mais il y a une factorisation spéciale pour n=1 et n=2 :


Dans le cas où n=1:
f(X)= 2 [k variant de 0 à (n-1)/2] ( X - i.tan(kpi/n) )

Dans le cas où n=2:
f(X) = 2n [k variant de 0 à (n/2)-1] (X - i.tan(kpi/n) )

Je pense alors que ces deux factorisations sont la réponse à l'énoncé...

J'ai conclu un peu trop vite, ce sont des factorisations particulières...

La réponse attendu est sans doute celle-ci:

Pour n pair:
f(X)= 2nX [k variant de 1 à (n/2)-1] ( X^2 + tan^2 (kpi/n) )

Pour n impair:
f(X)= 2X [k variant de 1 à (n-1)/2] ( X^2 + tan^2 (kpi/n) )

Mais qu'advient t-il des cas n=1 et n=2 ?

Cas n=1 : 1+X+1-X = 2 déjà factorisé.
Cas n=2 : (1+X)²-(1-X)² = 4X, déjà factorisé aussi ....

sinon, en posant n = 2p : est bien de degré 2p-1, de coefficient dominant 4p = 2n.

ses racines x vérifient où k peut prendre les valeurs 0 à 2p-1, à l'exception de la valeur k=p, qui donnerait 1+x = -(1-x), ce qui est impossible.

pour k différent de n/2 et de 0 : exactement comme dans le cas impair
pour k =0, on retrouve 1+x = 1-x donc x = 0

pour n > 2, on a toujours les racines conjuguées pour k = 1 et n-1, 2 et n-2, ... , et (pour n=2, on n'a que la racine nulle, puisque 1 et n-1 coïncident avec la valeur interdite de k : n/2)

du coup on aura pour
remarque que ça ne change presque rien par rapport au cas impair...

Tout d'abord je tiens à vous remercier de votre intervention, vous m'avez très bien guidé vers la réponse ! Sans vous je n'y serai peut être jamais arrivé...

Reste 2-3 petits détails à résoudre:

- comment justifier que itan( (n-k)pi/n ) est le conjugué de itan(kpi/n)  (j'ai revu votre explication dans l'un de vos precedents posts, mais j'ai encore du mal à comprendre
-comment justifier que pour n impair, la valeur maximale de k est (n/2)-1 ?

-les formules de la réponse ne sont valables que pour n>1 (lorsque n impair) et n>2 (lorsque n pair). Du coup je devrai signaler les solutions particulières pour n=1 et n=2 dans la réponse finale...

1)

2) pour n impair, on va jusqu'à ce qu'on ait deux nombres consécutifs dont la somme est n : p + (p+1) = n revient à p = (n-1)/2 (et pas (n/2) - 1)

et oui, les cas n = 1 et n = 2 sont un peu particuliers.

Très bien j'ai compris pour le 1)

Oui, je me suis trompé, c'est pour le cas n pair. (un petit rappel pour n impair est aussi sympa )

Encore merci !

pour n pair, on a n=0 qui donne x = 0, puis les valeurs de k : 1 et n-1, 2 et n-2 etc, jusqu'à n/2 - 1 et n/2 + 1 qui correspondent aux paires de racines conjuguées.
on ne va pas jusque n/2 qui ne donne pas de racine

pour t'assurer qu'on est bien au milieu : soit tu considère la somme des indices : pour deux racines conjuguées, elle vaut toujours n : 1 +(n-1) = 2 + (n-2) =....(n/2 - 1) + (n/2 + 1) = n
soit tu poses n = 2p
on a éliminé k = 0 et k = n/2, il reste donc 2p-2 racines conjuguées deux à deux, donc il faut les p-1 premières, et les autres seront leurs conjuguées.
donc k va aller de 1 à p-1 = n/2 -1

Je pense que tout est assez clair maintenant...
Un grand merci tout de même pour avoir consacrer un peu de temps a mon problème !

Ce topic est donc résolu.

si tu as d'autres questions n'hésite pas