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Factorisation de X^n-1

Posté par
Ineedurhelp 08-01-17 à 14:03

Encore moi,
Je bloque sur la factorisation dans R[X] du polynôme X^n-1,     avec n dans N*
J'ai X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)    
et
X^4-1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)


Mais maintenant pour X^n-1 ... Aucune idée

Posté par
ThierryPomare : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 14:09

Bonjour,

Sais-tu déterminer les racines n-ième de l'unité ? Si z est complexe,

(X-z)\,(X-\overline{z})=\cdots

Appartient-il à \R[X] ? Que se passe-t-il si z est une racine n-ième  de l'unité ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 14:14

la formule générale c'est simplement :

Xn-1 = (X-1)(Xn-1+Xn-2 +...+X²+X+1)

(il te suffisait de penser à la somme des termes d'une suite géométrique par exemple)

Posté par
ThierryPomare : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 14:15

Bonjour Glapion,

Certes, mais l'on peut mieux faire, non ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 14:24

dans R[X] ? pas toujours. mais parfois oui c'est vrai. Mais à mon avis, dans cet exercice, ça n'est pas demandé.

Posté par
lionel52re : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 14:38

A distinguer pair et impair
Pour 2n+1, les racines de l'unité sont les e^{i2k\pi/(2n+1)}, k = -n...n

X^{2n+1} - 1 = (X-1)\prod_{k=1}^n (X-e^{2ik\pi/(2n+1)}) (X-e^{-2ik\pi/(2n+1)}) \\ =  (X-1)\prod_{k=1}^n (X² - 2cos(2k\pi/(2n+1))X + 1)

Pour 2n les racines de l'unité sont les e^{2ik\pi/n}, k = -(n-1)...-1,1...(n-1) ainsi que 1 et -1

Il reste donc
(X-1)(X+1)\prod_{k=1}^{n-1} (X² - 2cos(k\pi/n)X + 1)

Posté par
ThierryPomare : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 14:40

@Lionel : Ta prestation était-elle vraiment utile ? C'est pitoyable.

Posté par
lionel52re : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 14:43

Thierry Poma tu viens de te faire larguer non?

Posté par
lionel52re : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 14:44

Je suis désolé, tu retrouveras quelqu'un. Tiens bon mec.

Posté par
Ineedurhelpre : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 15:01

@Glapion
J'ai beau chercher je ne vois pas ce que tu veux dire ... Comment tu fais le lien entre la somme d'une suite géo et mon exercice? (ca doit etre évident vu comment tu l'enonces, mais je ne trouve pas)
@ThierryPoma Merci, alors j'ai trouvé X^n=1      <==> X=exp(i 2kpi/n)
Mon problème c'est k : En gros comment on détermine l'ensemble des solutions et uniquement l'ensemble, sans en avoir qui se répétent?
@Lionel
Merci, j'ai compris le raisonement, j'arrive juste pas a suivre comment tu sais de ou à ou va k

Posté par
Glapion Moderateurre : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 15:08

1+X+X²+ ... + Xn-1 c'est bien la somme des termes d'une suite géométrique, non ?

Posté par
Ineedurhelpre : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 15:13

J'ai compris Glapion, j'etais passé a coté, suffisait d'ecrire la formule comme tu le disais

Posté par
carpediemre : Factorisation de X^n-1 08-01-17 à 16:32

salut

je pense que ce qui est demandé est ce qu'a donné lionel52 ...

mais comme ThierryPoma je trouve dommage d'avoir donner la réponse complète ...

Posté par
Psg98re : Factorisation de X^n-1 11-02-18 à 01:08

@Lionel jai une question sur ce que ta poster  est ce que tu peux mexpliquer X5 − 1 = (X − 1)(X^¨2 − 2 cos(2π/5)X + 1)(X2 − 2 cos(4π/5)X + 1).  je compreend pas pourquoi dans le cos c'est 2π une fois et apres c'est 4π ?
merci

Posté par
veledare : Factorisation de X^n-1 11-02-18 à 12:40

bonjour,
dans
les solutions de z^5=1 sont pour k {0,1,2,3,4}
z_k=e^{i\theta_k} avec \theta_k=\frac{2k\pi}{5}

maisz_1=\bar z_4  et z_2=\bar z_3

z^5-1=(z-1)[(z-z_1)(z-z_4)][(z-z_2)(z-z_3)]

tu calcules
(z-z_1)(z-z_4) \\ (z-z_2)(z-z3)
et tu auras la forme donnée par Lionel

Posté par
flightre : Factorisation de X^n-1 11-02-18 à 22:47

salut

les réponses sont meme dans le cours ...là il y a rien à inventer


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