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Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X]

Posté par
lucaskunn 03-01-13 à 18:39

Bonjour!
Comment factoriser l'expression x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X]?
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
gui_toure : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 03-01-13 à 18:41

salut

Somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison x (différent de 1?) et de premier terme 1 = ??

Posté par
lucaskunnre : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 04-01-13 à 19:48

Merci pour ta réponse.
Excuse-moi, je ne comprend pas ou est-ce que tu veux en venir. Autrement dit: comment trouver la factorisation sachant que l'expression est la somme des n+1 premiers termes d'une suite de raison X?
Cependant je pense que le premier terme de cette suite c'est tout simplement le polynôme P(X)=1.

Posté par
lolo271re : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 04-01-13 à 19:50

Tu ne connais pas la somme des termes d'une suite géométrique ?

Posté par
lucaskunnre : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 05-01-13 à 12:51

La factorisation serait donc \frac{1-X^{n+1}}{1-X} ?

Posté par
gui_toure : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 05-01-13 à 12:52

Oui

Posté par
lucaskunnre : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 05-01-13 à 13:34

Merci pour votre aide.
Je me suis fait piéger par le "dans C[X]" de la consigne.

Posté par
gui_toure : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 05-01-13 à 13:44

Il ne faut pas s'arrêter là !! Tu dois maintenant exhiber les racines n+1è de l'unité, solutions de 1=xn+1

Posté par
lucaskunnre : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 06-01-13 à 00:15

X^n+X^{n-1}+...+1= \frac{1-X^{n+1}}{1-X}

X^n+X^{n-1}+...+1=0

\Leftrightarrow \frac{1-X^{n+1}}{1-X}=0

\Leftrightarrow X^{n+1}=1

\Leftrightarrow X=e^{i \frac{2k \Pi}{n+1}}

Donc:

X^n+X^{n-1}+...+1= \prod_{k=1}^n (X-e^{i \frac{2k \Pi}{n+1}})

Posté par
lucaskunnre : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 06-01-13 à 00:44

J'ai oublié:

0<k \leq n .

C'est juste?

Posté par
gui_toure : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 06-01-13 à 09:25

yes!

Posté par
lucaskunnre : Factorisation de x^n+x^{n-1}+...+1 dans C[X] 07-01-13 à 21:16

Merci pour votre aide et à bientôt sur le forum!


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