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Factorisation de a^n - b^n

Posté par
cel54 22-12-09 à 15:41

Bonjour

On me demande de démontrer la factorisation de a^n - b^n. J'ai essayé par récurrence mais cela ne semble pas marcher.

Pouvez-vous me donner des idées?

Merci d'avance

Posté par
djustere : Factorisation de a^n - b^n 22-12-09 à 15:49

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^2a^{n-3}+...+b^{n-2}a+b^{n-1})

Merci qui ?

Posté par
ottore : Factorisation de a^n - b^n 22-12-09 à 15:49

Bonjour, on peut s'en tirer en utilisant la factorisation de X^n-1 en posant X=a/b...

Posté par
numero10re : Factorisation de a^n - b^n 22-12-09 à 15:53

Bonjour,

Une idée surement mauvaise par la division euclidienne par (a-b) quoi que ça risque de ne pas être rigoureux.

Posté par
Galileo Galileire : Factorisation de a^n - b^n 22-12-09 à 16:11

développe
(a-b)\times\Bigsum_{k=1}^{n-1} a^kb^{n-1-k}

Un changement d'indice, tout se simplifie et tu retombes sur a^n-b^n

Posté par
carpediemre : Factorisation de a^n - b^n 22-12-09 à 16:14

en posant x=b/a alors

an-bn=(a-b) * an * (1-un)/(1-u)

le dernier facteur est la somme des termes d'une suite géométrique : remplace le par cette somme et remplace u et développe par an....

Posté par
carpediemre : Factorisation de a^n - b^n 22-12-09 à 16:15

pardon x=u... et c'est an-1


désoled

Posté par
cel54re : Factorisation de a^n - b^n 22-12-09 à 16:53

Merci tout le monde


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