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Factorisation de grands nombres

Posté par
Ntiooo
16-09-20 à 22:47

Bonsoir,
Je suis actuellement sur un exercice où je dois développer (x²+a)² . Jusque là pas de problème, x^4+2x²a+a² .
Ensuite, on me dit de déduire que x^4 et a² peut s'écrire comme différence de deux carrés.. Quelqu'un aurait-il de quoi m'aider?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Factorisation de grands nombres 16-09-20 à 22:51

Bonjour,

"x^4 etpeut ... " est une phrase incorrecte qui n'a aucun sens.

ce n'est pas mot à mot ce qui est demandé.

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 16-09-20 à 23:09

Je vous affirme que c'est ce qu'est demandé mot pour mot

Posté par
mathafou Moderateur
re : Factorisation de grands nombres 16-09-20 à 23:23

certainement pas ! parce que cette phrase ne veut rien dire.

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 16-09-20 à 23:39

Il est écrit, je cite « Soit a>0. Développer (x²+a)² et en déduire que x^4+a²  peut s'écrire comme différence de deux carrés. »

Posté par
mathafou Moderateur
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 00:00

et tu penses vraiment que x^4 + a² et x^4 ET a² c'est la même chose ???

tu as démontré que (x²+a)² = x^4 + a² + 2ax²
donc x^4 + a² = (x²+a)² - 2ax²


mais de toute façon :

par exemple x = 1 et a = 3
x^4 + a² = 1+9 = 10

et tu vas me montrer comment 10 peut être la différence de deux carrés ...
(de nombres entiers)
10 = u² - v² = (u+v)(u-v)

u+v et u-v sont des entiers, donc des diviseurs de 10
u-v = 1
u+v=10
2u = 11 impossible

ou
u-v = 2
u+v = 5
2u = 7 impossible

il y a toujours un problème dans ton "énoncé"...

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 07:28

Oupsss
Je suis désolé je me suis mal relu....
Merci pour vos explications !

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 07:30

Et cette fois, l'énoncé est exactement le même que celui que j'ai cité...😅 il doit y avoir une erreur alors

Posté par
carpediem
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 09:05

salut

je ne pense pas que l'on travaille dans les entiers ici ...

mais dans R il faudrait au moins l'hypothèse a > 0 ... précisée à 23h39 ...

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 09:13

Donc comment je peux résoudre l'énoncé...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 09:44

de toute façon "factoriser des (grands) nombres" implique que c'est dans l'ensemble des entiers

factoriser dans les réels est de peu d'intérêt vu que quel que soit A > 0

4A = (A+1)^2 - (A-1)^2
et d'innombrables autres factorisations de ce genre

dans R on a
x^4 + a^2 = (x^2+a)^2 - 2ax^2 =  (x^2+a)^2 - \left(x\sqrt{2a}\right)^2
c'est bien une différence de deux carrés
mais c'est dans les entiers seulement si a est le double d'un carré.


pour lever le doute et comprendre ce qu'il en est de cet énoncé étrange il est indispensable d'avoir l'intégralité de l'énoncé mot à mot depuis le tout premier sans aucune "interprétation" douteuse
et pas seulement la question qui bloque.

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 12:13

Le problème, c'est que c'est la première question de l'exercice, aucun autre énoncé ne le précède.... Si je fais seulement (x²+a)² -2ax² Ça ne fonctionnerai pas?  

Posté par
mathafou Moderateur
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 12:30

rien qui définit ce que sont a et x (quelle sorte de nombre) ? aucun exemple, valeurs numériques , que sais-je ...
un énoncé ce n'est pas que uniquement les questions
c'est aussi tout ce qui est avant les questions, que tu considères peut être comme "du baratin" mais ce n'en est pas.

et les questions qui suivent ? (à quoi va nous servir une telle formule, applications etc)

2ax² n'est un carré (de nombres entiers) que uniquement si 2a est un carré c'est à dire si a est est le double d'un carré.
ce qui conduit à la formule que j'ai donnée : 2a est le carré de \sqrt{2a} )

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 14:12

Il n'y a aucun « baratin » comme vous dites... Seulement cette questions, avec celle qui suit: « en utilisant la question 1, écrire le nombre 2021^4+64 comme produit de deux entiers naturels. »

Posté par
mathafou Moderateur
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 14:43

ok
donc la formule de la première question est ce qu'on a fait . avec la racine carrée écrite ainsi et la remarque :
ça ne peut servir pour factoriser des entiers que si a est le double d'un carré.

question 2 :
a² = 64, a = 8 est bien le double d'un carré, donc cette formule de la question 1 marche et il n'y a plus qu'a l'appliquer, puis factoriser la différence de deux carrés obtenue

(vérification possible avec la calculette de Windows, ce nombre n'est pas si grand que ça, il n'a "que" 14 chiffres)

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 18:22

Ok merci beaucoup! Donc la formule à appliquer est bien: (x² +a)²-(x(racine de 2a))² ? Désolé pour l'écriture médiocre de la racine carrée..😅

Posté par
mathafou Moderateur
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 18:50

oui c'est bien celle là qu'on avait obtenue

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 19:28

Merci pour votre aide

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 21:07

Je reviens sur l'exercice 2, on me demande d'écrire le nombre 2024^4+64 comme produit de 2 entiers naturels en m'appuyant sur l'exercice 1... Donc j'utilise la formule établie avec (x ²+a)²-(x(racine de 2a))².
J'utilise donc cette formule en remplaçant le x par 2021 et le a par 8 (racine de 64 et double d'un carré pour que la formule marche). je me retrouves donc avec la formule remplacée... comment factoriser pour trouver un produit de deux entiers naturels?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 23:22

bein A² - B² = (A+B)(A-B) comme d'hab ...

Posté par
Ntiooo
re : Factorisation de grands nombres 17-09-20 à 23:36

Ah oui tout simplement..😅 Je vous remercie

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