Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Factorisation LU matrice flèche

Posté par
farid-b 01-06-22 à 22:12

Bonjour à tous!

J'ai du mal à répondre à la dernière questions de cette exercice:

Soit\:n\geq 2. \:On\:se\:donne\:trois\:vecteurs\:a=(a_1,...,a_n)\in\mathbb{R}^n ,\:b=(b_1,...,b_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1},\:c=(c_1,...,c_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}.\\On\:considère\:alors\:la\matrice\:A\in\mathcal{M}_n(\R)\:suivante:\\[2cm]A= \begin{pmatrix} a_1& 0& \cdots& 0& b_1\\ 0& a_2& \ddots& \vdots& b_2\\ \vdots& \ddots& \ddots& 0& \vdots\\ 0& \cdots& 0& a_{n-1}& b_{n-1}\\ c_1& c_2& \cdots& c_{n-1}& a_n\end{pmatrix}


On suppose que les (n-1) premiers coefficients de a sont non nuls

a) Déterminer une factorisation LU de A

J'ai trouvé U= \begin{pmatrix} a_1& 0& \cdots& 0& b_1\\ 0& a_2& \ddots& \vdots& b_2\\ \vdots& \ddots& \ddots& 0& \vdots\\ 0& \cdots& 0& a_{n-1}& b_{n-1}\\ 0& \cdots& \cdots& 0& a_n-\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{c_ib_i}{a_i}}\end{pmatrix}

Et L= \begin{pmatrix} 1& 0& \cdots& \cdots& 0\\ 0& \ddots& \ddots& & \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& \ddots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& \ddots& 0\\ \frac{c_1}{a_1}& \cdots& \cdots& \frac{c_{n-1}}{a_{n-1}}& 1\end{pmatrix}

b) En déduire à quelle condition sur a,b,c la matrice A est inversible

A inversible <=> det(A)≠0 <=> det(L)det(U) ≠ 0 <=> det(L)≠0 et det(U) ≠ 0.
Or det(L) = 1 ≠ 0.
Je remarque alors que pour L il suffit que que le coefficient tout en bas à droite doit être non nul pour que son détérminant soit non nul, mais je ne vois aucun lien entre les vecteurs en posant a_n-\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{c_ib_i}{a_i}}\neq0
Cela ressemble à un produit scalaire, j'ai essayé de creuser de ce côté...

D'avance merci pour vos réponses,
Bonne soirée

Posté par
farid-bre : Factorisation LU matrice flèche 01-06-22 à 22:22

*modération* >citation inutile supprimée**un simple suffit

Posté par
GBZMre : Factorisation LU matrice flèche 02-06-22 à 10:08

Bonjour,

Je ne vois pas pourquoi tu te casses la tête. La condition nécessaire et suffisante que tu as trouvée est bien une condition sur a,b,c.  Que veux-tu de plus ?


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !