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Niveau Licence Maths 1e ann
Factorisation polynômes irréductible
Posté par Joaninha
Bonjour,
Je bloque sur une question basique et je ne vois pas comment m'en sortir, et ou est le problème dans mon raisonnement :
énoncé : Factoriser : en polynôme irréductible dans
alors je trouve que P(2) = 0 donc je factorise ainsi :
P(X) =
Seulement mon deuxième polynôme que j'ai appelé Q n'est pas irréductible car il s'annule en X = 4 et lorsque j'essaye de le factoriser j'obtiens juste :
Q(X) =
alors je suis un peu perdue.
Est ce que mon erreur concerne le fait que j'aurais du d'abords écrire tous les polynômes irréductible de puis faire le lien en fonction de ça ? et si oui est ce que mon premier raisonnement est correct ou pas ?
Car je sais que dans certain exos on a chercher les polynômes irréductibles dans et on a écrit que les polynômes de deg inférieur ou égale à 3 étaient irréductibles s'ils ne s'annulait pas. Il y a surement quelque chose que j'ai mal compris ou mal fait.
merci d'avance
Bonjour
Il y a bien longtemps que je n'ai pas manipulé de telles notions.
Il me semble bien cependant qu'on n'a pas Q(4)=0 mais Q(4)=2.
Vous avez raison, excusez moi, j'ai refait le calcul 10fois et j'ai refais à chaque fois la même erreur dans mon calcul. Du coup ce polynôme est bien irréductible.
Merci!
Citation :
Du coup ce polynôme est bien irréductible.
Du coup ce polynôme est bien irréductible.
Bonsoir !
Un polynôme peut ne pas avoir de racines dans le corps sans être irréductible !
Bonjour jb2017.
1. Je n'ai vu aucun des calculs dont tu parles !
2. Je ne vois pas quels "calculs" permet d'obtenir qu'un polynôme est irréductible. Par calculs j'entends le calcul des valeurs du polynôme : si tu voulais dire autre chose, merci de préciser.
Bonjour
@lusak ma remarque a pour but de compléter la tienne. C'est à dire que tu as tout à fait raison de faire remarquer que rien ne dit que le dernier polynôme est irréductible.
Donc j'ai regardé si il l'était et la réponse qu'il est bien réductible et ceci est obtenu après des calculs. Je vais préciser ce que j' ai fait après.
Mais avant tout, je n'y connais rien dans ce domaine. C'est à dire je soupçonne qu'il existe des résultats qui permettent de répondre à la question autrement.
Donc si x^3+2x^2+4x+2 est réductible, il existe a_i=1,...,5 dans Z/7Z
tel que pour tout x,
Mais il y a au moins une chose que l'on peut faire c'est d'essayer ce nombre fini de possibilités. Ce nombre étant fini mais néanmoins trop grand pour le faire à la main,
j'ai écrit un petit algorithme (c'est très vite fait) pour voir si il y a une solution.
Bien entendu je suis preneur pour toutes indications qui permettrait de procéder autrement.
Rebonjour
Bon en réfléchissant un petit peu, j'ai une explication, autre que par un calcul systématique, montrant que notre polynôme de degré 3 est irréductible. En effet on sait qu'il n'a pas de racine dans Z/7Z
S'il était réductible il serait de la forme (ax+b) (cx^2+dx+f) mais
ax+b n'aurait pas de racines dans Z/7Z.
Or c'est facile de voir qu'un polynôme de degré 1 a toujours une racine dans Z/7Z
(c'est mieux qu'un algo).