Bonjour,
Une famille de vecteur est ordonnée et "accepte les répétitions". Ces propriétés sont essentielles pour l'usage qui est fait des familles de vecteurs (notion de liberté, expressions des coordonnées d'un vecteur dans une base choisie).

On peut définir de manière informelle un ensemble comme "une collection non ordonnée d'objets". De plus pour u un vecteur de E, {u,u}={u} (deux ensembles sont égaux ssi chaque élément de l'un appartient à l'autre), donc la notion de "répétition" n'a pas de sens dans les ensembles.

Donc une famille de vecteurs ne peut être un ensemble. Or l'image d'une application est un ensemble donc une famille de vecteur n'est pas l'image de l'application index mais bien l'application elle même, l'auteur n'a pas confondu ces deux notions ici.

Remarque: souvent on choisit l'ensemble index I (en sous entendant que (I,) est muni de la restriction de la relation d'ordre sur ). Ce qui permet d'ordonner et de "pouvoir répéter" les éléments d'une famille.

Il s'agit exactement de la même notion pour les couples d'éléments d'un ensemble A={a,b,c,d,e,f}. Considérons l'ensemble index I={1,2} ((en ayant en tête qu'on considère I comme l'ensemble ordonné (I,) ))
l'application i: {1,2} -> A et telle que i(1)=a et i(2)=d est un couple d'élément de A, que l'on note plus succinctement (a,d) ((dans cette dernière notation l'ordre apparaît "naturellement": l'élément a placé à gauche est l'image du plus petit élément de I, etc ...))

Bonjour,
De manière générale, une famille indexée par d'éléments de l'ensemble est une application . On a l'habitude de noter au lieu de , mais est bien une application.
Tu peux rapprocher ça du type de données "list" en python, par exemple. Une liste d'objets de type de longueur revient à  une application de dans ; son terme d'indice est appelé par . Python a aussi un type de données "set" qui ne marche pas du tout comme "list" :

mot='abracadabra'
print(list(mot))
print(set(mot))

Bonjur
La famille est l'application, chaque élément de la famille est indexé, comme une suite numérique (application de N dans E): (U0,U1,U2,...,Un,...) n'est pas l'ensemble des valeurs de la suite puisque les termes sont indexés donc identifiés par un indice qui n'est autre que l'antécédent par l'application.

Si on permute, on a une autre famille (sauf si la permutation ne fait qu'échanger des éléments égaux ). Continuons avec les listes python.

fruits = ['poire','pomme','poire','banane']
fruitsbis = [fruits[3],fruits[2],fruits[0],fruits[1]]
fruitster = [fruits[2],fruits[1],fruits[0],fruits[3]]
print(fruits)
print(fruitsbis)
print(fruitster)

fruits == fruitsbis, fruits == fruitster