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Familles sommables

Posté par
louisedcc 25-01-25 à 17:20

Bonjour,

J'ai l'exercice suivant :

Pour quelles valeurs de a la famille des ( 1/(p+q)**a ) est-elle sommable ? Avec p et q entiers naturels non nuls.

J'ai fait une sommation par paquets qui m'a donné que a devait être positif mais je bloque pour avoir le résultat complet. Fubini ne me mène à rien et je ne trouve pas de majoration intéressante.

Merci d'avance pour une piste !

Posté par
carpediemre : Familles sommables 25-01-25 à 17:50

salut

pour tout p : pour tout q : \dfrac 1 {(p + q)^a} \le \dfrac 1 {p^a} donc très certainement a > 1

peut-être voir vers la convexité (ou non) des fonctions x --> x^a ...

Posté par
louisedccre : Familles sommables 25-01-25 à 17:51

Bonjour,

J'ai déjà pensé à cette majoration mais il faut comparer entre deux familles indexées par le même ensemble (ici, N**2 et N ne sont pas les mêmes)

Posté par
verdurinre : Familles sommables 25-01-25 à 19:29

Bonsoir,
si la famille est sommable alors on peut regrouper les termes comme on veut.
En particulier on peut remarquer qu'il y a n-1 termes tels que p+q=n.

Donc si la famille est sommable sa somme est égale à \sum_{n=2}^\infty\frac{n-1}{n^a}.
Ce qui donne une condition nécessaire sur a.
Il reste à vérifier qu'elle est suffisante.


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