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Marxforito
Bonjour
Hypothèse : E un espace métrique et K={an∣n∈N}∪{a} un compact de E tel que an→a
Soit g:X→Y une application continue d'un espace métrique X dans un espace métrique Y telle que pour tout compact K de Y, l'image réciproque g−1(K) est un compact de X
Question : montrer que l'application g est fermé .
Réponse : Soit F un fermé de X et on montre que g(F) est un fermé de Y
Soit (y_n)=(g(x_n)) une suite d'éléments de g(F) telle que y_n→y∈Y.
- Pour la suite c'est facile, d'après la continuité de g et l'unicité de la limite on peut conclure.
Merci.
Considérons le compact K={y_n∣n∈N}∪{y}. Comme la suite (x_n) est d'éléments du compact g−1(K), on peut donc extraire une sous-suite (x_{ϕ_n}) convergente vers x∈F.
P.S. On arrête ici où j'ai du problème à comprendre comment (x_{ϕ_n}) converge dans F ? Je sais que F est fermé, est-ce que g−1(K)⊂F si oui je n'arrive pas à le démontrer.
salut
peut-être ne faudrait-il pas oublier l'hypothèse sur g : l'image réciproque d'un compact est compacte ...
Et alors rien; c'est pas la bonne hypothèse à utiliser à ce niveau 
on peut donc extraire une sous-suite
Et g est continue ... donc ...
pourquoi x appartient à F ?
A mon avis, tu t'es gaiement embrouillé dans les notations et on va tirer tout ça au clair :
Le but est donc de montrer que si F est un fermé de X alors g(F) est un fermé de Y.
Pour cela, comme on est entre espaces métriques, la fermeture séquentielle suffit.
Soit donc (yn)n une suite convergente de g(F) vers un certain y 
Y.
Le but est donc maintenant de montrer que y g(F).
Il est facile de montrer que est une partie compacte de Y.
Par hypothèse, est une partie compacte de X.
Soit une suite convergente de N telle que pour tout
.
On peut poser une telle suite puisque comme , alors
a au moins un antécédent dans F.
On a donc pour tout n
Posons que est la limite de la suite en question. Par fermeture de F, on a que
La suite est donc une sous-suite de la suite
qui converge donc vers
, en tant que sous-suite d'une suite convergente.
Par continuité de g, tend vers
et donc
(par unicité de la limite)
Comme on avait , on a alors que
.
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