Re Robby

Que supposes-tu au départ, que K est un compact ou que K est un fermé borné ?

Kaiser

On suppose que K est compact, et on essaye de montrer qu'il est fermé et borné...dans R^n

Par définition, K est compact donc de toute suite d'éléments de K, on peut extraire une sous-suite qui converge dans K.
On va d'abord montrer que K est borné.
Pour cela, raisonne par l'absurde.

Kaiser

ok d'accord, supposons K non borné<=> il existe une suite xn de K tel que |xn|>M ou M>0
on a aussi xn->l appartenant à K donc limite(|xn-l|)=0...ahh on peut dire qu'il existe une sous suite xk(n)->let lim(|xk(n)-l|)=0 lorque k(n)->+oo...est ce que ce que je raconte c'est juste?? et qu'est ce que je fais aprés??

Déjà, ton M est fixe ou alors il dépend de n ?

Kaiser

non mais M c'est un réel positif, je crois bien qu'il dépend de n...

Comment dépend-il de n ? (une expression en fonction de n peut-être ?)

Kaiser

lol bah je sais pas moi, est qu'il faut qu'il dépende de n ou pas, et si oui comment choisir la relation??

L'idée est de construire une suite qui n'admet aucune sous-suite convergente, autement dit une suite dont le norme tend vers l'infini.
Comme K est non borné, comme tu l'as dit,n pour tout M, on peut trouver un élément x de K de norme plus grande que M.
En particulier pour tout entier n, il existe de norme plus grande que n.
Je te laisse continuer.

Kaiser

oula j'ai pas trop saisi la...je suis d'accord qu'il existe xn mais de norme plus grand que M pour moi parce que plus grand que n ça veut dire quoi??
Je saisi pas bien ou on va en a venir...??

Ceci étant vrai pour tout réel M, en particulier, c'est vrai si M est un entier n, non ?

Kaiser

oui et...donc |xn|>n or on sait qu'il existe une sous suite convergente xk(n)->l ds K cad |xk(n)-l|->0 mais aprész ???

Le fait que implique que tend vers et donc aussi toutes ses sous-suites. En particulier, tend vers ce qui est absurde car elle est convergente.

Kaiser

lol oui c'est pas faut...lol ok je vois d'accor, merci.Donc on amontrer que c'était borné.Et maintenant montrons que c'est fermé.
Il faut trouver alors le r>0 tel que la boule soit incluse dans le complémentaire de K.
Comment faire ça??

On peut encore raisonner par l'absurde.
Supposons l'existence d'un élément x appartenant au complémentaire de K tel que toute boule de centre x et de rayon r>0 ne soit pas incluse dans K (c'est-à-dire d'intersection non vide avec K).
Avec ça, essaie de construire une suite d'éléments de K qui converge vers x.

Kaiser

alors, ça nous fait, soir r>0 par exemple r=1/n tel que B(x,1/n) intersection avec K différent de l'ensemble vide...on prend un suite yn de K qui converge vers x et aprés?? il existe une sous-suite yk(n) qui converge aussi vers x car K est compact...et aprés??

C'est un bon début.
Comme K est compact, on a mieux, il existe une sous-suite qui converge dans K.
Où se trouve alors la contradiction ?

Kaiser

c'est ça?? ahh oué, x appartient au complémentaire de K et x appartient à K aussi car K est compact...ok ok
Merci Kaiser, vraiement le BOSS des maths

Mais je t'en prie !