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Fermé comme ensemble des zéros d'une fonction
Bonjour,
J'aimerai montrer qu'en prenant un fermé F de 
, on peut trouver une fonction f C
(,) telle que F=f-1({0})
En partant d'un singleton, il est clair que c'est la translation qu'il faut prendre. Et pour un ensemble fini discret on peut toujours prendre un polynome dont les racines sont les elements de cet ensemble. Le probleme se pose quand on a une infinité de points, ou un segment fermé, ou la réunion des deux. Pour l'infinité de point je ne vois pas d'autres solutions que de prendre l'indicatrice et de la régulariser, mais dans ce cas j'obtiens plutôt une famille de fonctions infiniment dérivables qui tendent vers l'indicatrice.
J'espère que vous pourrez m'aider ou me donner des pistes que je pourrai suivre afin de résoudre cet exercice.
Soit F un fermé de distinct de . Son complémentaire est la réunion d'une famille au plus dénombrable d'intervalles ouverts Uj (j 
J) .
Si tu arrives à trouver , pour chaque j une fj : 
qui soit C , nulle hors de UJ et > 0 sur Uj tu aura gagné .
Il te suffit donc de voir ce que tu peux faire si U = ]-1 , 1[ et si U = ]- , 0]
Uk = 
si j salut
tu aimerais montrer ...
1/ ce qui est toujours intéressant dans ce genre de question c'est l'intuition qu'on en a : cela semble-t-il vrai ou pas (avec bien sur la possibilité d'avoir une fausse intuition ... mais une idée derrière la tête tout de même ...)
2/ ou sinon bien sur est-ce vrai (as-tu vu ce résultat quelque part) et donc où ?
moi je prendrais un exemple simple générique qui associe (presque) tous les points critiques que peut poser ce genre de question :
un ensemble infini (dénombrable) admettant une valeur d'adhérence (pour ne pas être "complètement discret"
soit (ou n dans Z)
et deuxième cas un intervalle fermé : se présente deux cas alors :
F est fermé borné (donc compact) : F = [0, 1]
F est fermé non borné : F = [0, +oo[
si tu arrives à le faire dans ces trois cas là alors on pourra sérieusement se poser la question de généraliser ...
mais si ce n'est pas possible alors le travail est fini ...
Bonjour,
Je vous remercie pour vos réponses. Pour les ensembles discrets je n'ai pas d'autre idée que de prendre des recollements de fonctions affines qui vont s'annuler en chaque point. Mais une telle fonction n'est pas dérivable aux points de recollement, d'où l'idée d'utiliser la régularisation. Mais dans ce cas je tombe dans une suite de fonctions. Et encore dans l'exemple que vous donnez carpediem , je ne sais pas comment va se comporter la fonction au voisinage de 0 tellement les "oscillations" sont rapides.
Sinon pour un intervalle ouvert non borné ( du genre ]a,+[ ) on peut utiliser les fonctions du genre t
e-1/(-t+a) qui s'annulera ainsi sur l'intervalle ouvert voulu. Pour un intervalle fermé, je ne sais pas quoi prendre. Une gaussienne peut être ?
Merci d'avance pour votre aide.
Il suffit de trouver , pour chaque intervalle ouvert U , une f : qui soit C nulle hors de U et telle que f(x) 
0 pour tout x U .
.1.Soient
..u : définie par u(x) = 0 si x 
0 et u(x) = exp(-1/x) si x > 0
.. E l'ensemble des x u(sx - a) ( s = 
1 , a )
.. F = { x u(x - a)u(b -x) │ (a,b) ² e ta < b } .
2.Les éléments de E sont
C ,
nulles sur un intervalle fermé non borné distinct de
> 0 sur son complémentaire .
2.Les éléments de F sont
C ,
> 0 sur un intervalle ouvert borné non vide
nulles sur son complémentaire .
3. Soient maintenant
.. F un fermé de distinct de et U son complémentaire (qui est un ouvert non vide)
.. (Uj) la partition de U formée par ses composantes connexes (qui sont des intervalles ouverts non vides)
..pour chaque j de J , fj : une C telle que [fj = 0] = \ Uj .
.. f : x définie par
f(x) = 0 si x F et , pour tout j , f(x) = fj(x) si x Uj .
Il ne reste plus qu' à voir que f est C .
Bonsoir,
Je vous remercie pour votre réponse. C'est donc un jeu sur les fonctions de l'ensemble F.
Merci tous pour votre aide.
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