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Niveau Maths sup
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fermé dans un compact est compact

Posté par
vastemath
05-05-21 à 11:57

Bonjour,

J'ai K  fermé d'un espace topologique compact E, et je veux  montrer que K est  compact.

Soit    (F_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda} une famille de fermés de K  tel que \bigcap_{\lambda\in\Lambda} F_{\lambda}=\emptyset

alors (F_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda} une famille de fermés de E compact donc on peut extraire une famille fini
\bigcap_{\lambda\in\Lambda_0} F_{\lambda}=\emptyset


comment utiliser K fermé ?

Merci

Posté par
Aalex00
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 13:44

Bonjour vastemath,

vastemath

Soit (F_{\lambda })_{\lambda\in\Lambda} une famille de fermés de K..
[...]
alors (F_{\lambda })_{\lambda\in\Lambda} une famille de fermés de E [/tex]
Tu vas un peu vite ici, un fermé de K (pour la topologie induite par E) s'écrit : F_\lambda^E\cap KF_\lambda^E fermé de E.
Donc tu as :

\cap F_\lambda=\cap (F_\lambda^E\cap K)=K\cap \cap F_\lambda^E

Et pour conclure, on utilise que K est fermé dans E.

Posté par
vastemath
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 14:13

Si  \bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}=\emptyset alors  K\cap (\cap_{\lambda\in\Lambda}F^E_{\lambda}=\emptyset

comment déduire s'il vous plait que \cap_{\lambda\in\Lambda}F^E_{\lambda}=\emptyset

pour utiliser la compacité de E ?

Merci

Posté par
Aalex00
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 14:22

Mais \{K\}\cup\{F_\lambda^E\}_\lambda n'est elle pas une famille de fermés de E d'intersection vide ? Qu'en déduis-tu ?

Posté par
vastemath
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 15:43

\bigcap_{\lambda\in\Lambda} (K\cup F_{\lambda})=K\cup (\bigcap_{\lambda\in\Lambda} F_{\lambda})
pourquoi l'intersection  est vide ?

Posté par
Aalex00
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 16:09

Peut être que ce sera plus clair écrit autrement. Si je renomme la famille \{K\}\cup\{F_\lambda^E\}_\lambda en \{F_i\}_i, alors on avait

\emptyset = \cap F_i

Et chaque F_i est un fermé dans E. Or E compact donc que dire de cette intersection ?

Si on revient à

\emptyset = K \cap \cap F_\lambda

qu'est-ce que je voulais te faire dire ?

Posté par
vastemath
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 16:10

je pense que vous voulez dire la famille  K\cap F_{\lambda} ?

Posté par
vastemath
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 16:12

je ne voit toujours pas pourquoi   \cap_{\lambda} (K\cup F_{\lambda})=\emptyset

Posté par
Aalex00
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 16:15

Pour la dernière expression je mets deux symboles intersection car c'est un abus de langage, autant pour moi si ce n'était pas clair : K \cap \cap F_\lambda=K \cap (\underset{\lambda \in\Lambda}{\cap}F_\lambda)

Posté par
Aalex00
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 16:21

vastemath

je ne voit toujours pas pourquoi   \cap_{\lambda} (K\cup F_{\lambda})=\emptyset

Il me semble pas avoir dis cela.

Bon ce que je veux te faire dire c'est que si

\emptyset =K \cap (\underset{\lambda \in\Lambda}{\cap}F_\lambda)

alors d'après ton cours on peut extraire une sous famille finie \{K,F_\lambda_1,...F_\lambda_n\} d'intersection vide. Comprends tu pourquoi ?

Posté par
Aalex00
re : fermé dans un compact est compact 05-05-21 à 16:23

Aalex00 @ 05-05-2021 à 16:21

Bon ce que je veux te faire dire c'est que si

\emptyset =K \cap (\underset{\lambda \in\Lambda}{\cap}F_\lambda^E)

alors d'après ton cours on peut extraire une sous famille finie \{K,F_\lambda_1^E,...F_\lambda_n^E\} d'intersection vide. Comprends tu pourquoi ?


Oh la la j'oublie les ^E, ça m'arrange rien



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