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Fibonacci et série entière

Posté par
gogodu28 21-06-11 à 19:36

Amis matheux bonsoir

J'ai eu cet exercice en oral d'entraînement la semaine dernière et une question me taraude l'esprit. Je cherche donc une âme charitable qui saurait m'éclairer avant les "vrais" oraux

On considère la série entière \sum F_nx^n où F_n désigne le \textrm n^{ième} terme de la suite de Fibonacci

Montrer que le rayon de convergence de cette série vaut \frac{1-\sqrt{5}}{2}

Il y a sans doute un rapport avec le nombre d'or (!) mais je n'arrive pas à le démontrer

Merci du temps et de la patience que vous m'accorderez !

gogo

Posté par
carpediemre : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 19:41

salut

quelle est la limite de Fn+1/Fn ?

que dit alors le cours ?

Posté par
gogodu28re : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 19:49

J'ai bien pensé à D'Alembert !

Mais je n'ai une relation de récurrence qu'avec F_{n+2} !

Faut-il alors que j'utilise le cours sur les suites linéaires récurrentes ?

(Je m'absente, je pars manger)

Posté par
ottore : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 19:57

Bonjour,
ça me semble évident que oui puisque tu as une suite linéaire récurrente ...

Posté par
carpediemre : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 20:15

il me semble que la définition de la suite de Fibonacci conduit au résultat :

lim (F[sub]n+1[/sub]/Fn) = nombre d'or ...

Posté par
ottore : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 20:29

Si on arrive à montrer que F(n+1)/F(n) admet une limite c'est effectivement immédiat.

Posté par
gogodu28re : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 20:50

Merci de vos réponses, je vais chercher ça

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 21:48

Bonjour ,

Ce ne serait pas plutôt \Large\boxed{\frac{1+\sqrt5}{2}} ?

Posté par
gogodu28re : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 21:50

Bonsoir elhor_abdelali,

Je ne me souviens plus de l'énoncé exact donc c'est possible !

(Je chercherai demain, je suis trop fatigué ce soir)

Posté par
kybjmre : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 21:50

Il me semble qu'on a des formules donnant explicitement Fn : Si a = (1 - 5)/2 et b = (1 + 5)/2  on a :
Fn = an + bn de sorte que (Fn)1/n b et le rayon de la série en question est 1/b = |a| = (5 - 1)/2

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fibonacci et série entière 21-06-11 à 23:10

Alors voilà ce que je propose si on veut faire les choses d'une manière assez élémentaire :


\boxed{*} la suite de Fibonacci étant définie par la relation récurrente \Large\boxed{F_0=F_1=1\;;\;F_{n+2}=F_{n+1}+F_n ~,~ \forall n}

on a en posant , pour tout entier naturel n , \Large\boxed{d_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}} la relation récurrente \Large\boxed{d_0=1\;;\;d_{n+1}=1+\frac{1}{d_n} ~,~ \forall n}

une récurrence immédiate donne \Large\boxed{d_n\ge1 ~,~ \forall n} d'où si on note \Large\boxed{\omega=\frac{1+\sqrt5}{2}} ,

\Large\boxed{d_{n+1}-\omega=\frac{1}{d_n}-\frac{1}{\omega} ~,~ \forall n} ce qui donne \Large\boxed{\left|d_{n+1}-\omega\right|=\frac{\left|d_n-\omega\right|}{\omega d_n}\le\frac{\left|d_n-\omega\right|}{\omega} ~,~ \forall n}

et par suite \large\boxed{\left|d_n-\omega\right|\le\frac{\left|d_0-\omega\right|}{\omega^n} ~,~ \forall n} ce qui montre clairement que \Large\boxed{\lim_{n\to+\infty}d_n=\omega}

le rayon de convergence de la série entière \Large\sum_{n\ge0}F_nx^n est donc \Large\boxed{R=\frac{1}{\omega}=\frac{\sqrt5-1}{2}}


\boxed{*} et on peut même calculer explicitement la somme de cette série entière en écrivant :

\Large\boxed{\forall x\in]\frac{1-\sqrt5}{2}~,~\frac{\sqrt5-1}{2}[ ~,~ F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(F_{n+2}-F_{n+1}\right)x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}F_{n+2}x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}F_{n+1}x^n}

ce qui donne \Large\boxed{\forall x\in]\frac{1-\sqrt5}{2}~,~\frac{\sqrt5-1}{2}[ ~,~ x^2F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_{n+2}x^{n+2}-x\sum_{n=0}^{+\infty}F_{n+1}x^{n+1}=F(x)-1-x-x\left(F(x)-1\right)}

soit \blue\Large\boxed{\forall x\in]\frac{1-\sqrt5}{2}~,~\frac{\sqrt5-1}{2}[ ~,~ F(x)=\frac{-1}{x^2+x-1}} sauf erreur bien entendu

Posté par
gogodu28re : Fibonacci et série entière 22-06-11 à 17:17

Wahou !

La classe

Merci beaucoup

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fibonacci et série entière 22-06-11 à 19:07

C'est un plaisir gogodu28 !


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