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Finitude d'un ensemble

Posté par
fusionfroide 17-05-07 à 23:52

Salut

On me demande de montrer que 4$sup\{u exp{-u};u\ge 0\} < +\infty

Voici ce que j'ai fait :

On a : 4$\lim_{u \to \infty} u exp{-u}=0 donc il existe 4$u_0 tel que pour tout 4$u \ge u_0, on a : 4$|u exp{-u}| \le 1

Mais est-ce que cela suffit ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Finitude d'un ensemble 17-05-07 à 23:53

re

il faut aussi préciser ce qui se passe pour les u qui sont plus petits.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Finitude d'un ensemble 17-05-07 à 23:55

Re kaiser,

pour ceux plus petits que u_0 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Finitude d'un ensemble 17-05-07 à 23:59

oui !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:03

Ok c'est donc pour 4$u \in [0,u_0]

Je dis peut-être une bêtise mais peut-on faire un DL au voisinage de 0 pour s'en sortir ?

Ou est-ce plus simple ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:05

le DL te dira seulement ce qui se passe pour les u très proches de 0.
Il suffit d'utiliser une propriété très simple de la fonction considérée.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:06

ok je cherche !

Posté par
fusionfroidere : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:09

En fait c'est juste une étude de fonctions non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:13

même pas, encore plus simple que ça : il suffit de raisonner théoriquement.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:20

bah je ne vois pas trop : aurais-tu un autre indice ,

Posté par
kaiser Moderateurre : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:21

continuité !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:23

4$u->u exp{-u} est continue sur 4$[0,u_0] donc bornée...

Posté par
kaiser Moderateurre : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:31

oui !
on pouvait aussi conclure sans passer par ce \Large{u_{0}} en faisant référence au comportement de la fonction en l'infini, en plus de la continuité.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:31

ok merci pour ton aide kaiser et bonne

Posté par
kaiser Moderateurre : Finitude d'un ensemble 18-05-07 à 00:32

Je t'en prie !
Bonne nuit à toi aussi !


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