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fn(x)= 10x²e^nx-1
Bonjour,
J'ai un exercice de dm où il faut chercher les 2 points d'inflexions de la courbe.
Pour cela il faut calculer la dérivé seconde afin de voir quand elle s'annule.
Je trouve fn''(x)= 20+20x+20n)e^nx-1
Cependant je ne parviens pas à comprendre comment on peut étudier le signe de la fonction étant donné qu'il y a deux inconnues (n qui est une constante et x)
Salut,
Il n'y a à priori qu'une inconnue, c'est x.
Peux-tu mettre l'énoncé exact et complet, ainsi que tes recherches ?
Merci.
Je vous met l'énoncé
"Pour tout entier naturel non nul n, fnest la fonction définie sur R par
fn(x)= 10x²enx-1
On note Cn la coubre représentative de la fonction fn dans un repère.
Montrer que Cn admet deux points d'inflexion dont on donnera les abscisses"
Pour l'instant j'ai calculé la dérivé
fn'=20x*enx-1+ 10x²* nenx-1 = (20x+10x²+n)enx-1
Puis la dérivé seconde
fn''= (20+20x)enx-1+20nenx-1= (20+20+20n)enx-1
Désormais je suis bloquée je ne vois absolument pas comment il faut faire, je n'ai jamais eu à résoudre ce genre de problème.
j'ai fait une petite erreur lorsque j'ai tapé le résultat de la dérivé seconde, dans la parenthèse c'est 20+20x+20 n et non 20 +20+20n
Je vous met l'énoncé
"Pour tout entier naturel non nul n, fnest la fonction définie sur R par
fn(x)= 10x²enx-1
On note Cn la coubre représentative de la fonction fn dans un repère.
Montrer que Cn admet deux points d'inflexion dont on donnera les abscisses"
Pour l'instant j'ai calculé la dérivé
fn'=20x*enx-1+ 10x²* nenx-1 = (20x+10x²+n)enx-1
Puis la dérivé seconde
fn''= (20+20x)enx-1+20nenx-1= (20+20x+20n)enx-1
Désormais je suis bloquée je ne vois absolument pas comment il faut faire, je n'ai jamais eu à résoudre ce genre de problème.
J'ai également constaté que ex>0 donc enx-1 >0 sur R,donc la dérivée seconde est du signe de 20+20x+20n
bonsoir à tous deux
pour te dépanner en attendant le retour de Yzz qui reprendra la main.
la dérivée (première) est fausse, à la factorisation
fn'(x) =20x*enx-1+ 10x²* nenx-1 =10(2x+nx²)enx-1
tu aurais pu éviter de trimbaler le 10 : rappel (
u)' = u'
sinon, c'est juste
factorise 10 enx-1
mets en évidence - entre les ( ) - un second degré dont tu chercheras les racines
... au fait, tu sais pourquoi tu dois chercher d'éventuelles racines ?
Oui, chercher les racinesn de la dérivé seconde équivaut à chercher l'abscisse des points pour lesquels la fonction change de convexité ( = point d'inflexion de la consigne)
on aurait alors
fn"= 10(2+n2x+2nx+n²x²) enx-1 =10(2+4nx+n²x²)enx-1
étant donné que enx-1 est toujours positif, il ne resterait qu'à chercher les racines de 2+4nx+n²x² en sachant que dès lors qu'un élément du produit est nul, le produit devient nul
donc il faudrait chercher les racines du polynôme du second degré 2+4x+x²?
étant donné que enx-1 est toujours positif, ---- oui
il ne resterait qu'à chercher les racines de 2+4nx+n²x² ---- ce qui est rouge est faux
donc il faudrait chercher les racines du polynôme du second degré 2+4x+x²? --- non, où est passé n ?
==> tu dois mettre sous en forme ax²+bx+c mais dans les coeffs, tu gardes n
montre ta factorisation si tu es bloqué.
ps : j'ai des lenteurs sur mon ordi, je me déconnecte pour rebooter.
J'ai retiré n car je considère que si x² est nul x²n le sera également, si 2x est nul alors 2xn le serait aussi, je ne sais pas si ce que je dis est clair (puisque cela reviendrait à faire 0*n ).
avec n le polynome serait
n²x²+4nx+2
ta justification au sujet de n est farfelue : tous les termes ne contiennent pas n,
tu ne peux donc pas le factoriser et encore moins le faire disparaitre.
es-tu convaincu ?
nah oui d'accord, désormais il faudrait calculer le discriminant? On doit trouver des racines avec n dedans?
delta =8-4(1)(2)=0
on aurait alors qu'une racine alors que l'énoncé évoque 2 pts d'inflexion...
x1= -4/2= -2
j'attire ton attention sur le fait que pour qu'il y ait point d'inflexion en x0 (lorsque la dérivée seconde s'annule en une valeur x0),
il faut aussi que la dérivée seconde change de signe de part et d'autre de x0 ...
donc à vérifier les changements de signes de ta dérivée seconde avant de conclure.
= 8n² ----- (4n)²
Oui en effet j'ai mal développé, on aurait
delta= 4n²-8n² =-4n²??
comment faites vous pour trouver 16n²?
pour le calcul des racines, la racine carrée du discriminant intervient.
et c'est mieux de simplifier 
(8n²).
j'avance un peu car je vais m'absenter.
une fois que tu auras tes 2 racines, relis mon message de 19h33.
justifie
puis conclus.
x1=-(2n + n sqrt(2)) /n² ok
x2= (-2n + n sqrt(2)) /n² ---- c'est +
et tu peux encore simplifier par n
avant de conclure sur les points d'inflexion,
tu peux dresser un tableau de signes de la dérivée seconde.
Bonjour, donc les points d'inflexion sont bien x1 et x2?
Auquel cas je construit le tableau de signe de la dérivé seconde ainsi que le tableau de variations de la dérivé ( première) puis je conclus
bonjour lb03
dans ta formulation, ce qui me dérange, c'est le "auquel cas".
la démarche correcte est plutôt dans l'autre sens:
- on cherche les racines de fn'' --> fait
- on étudie le signe de fn'' ---> ici le tableau de signes
- on en déduit qu'il y a des points d'inflexion s'il y a changement de signes autour des racines.
si besoin jette un oeil ici : 
Fonction convexe, concave et point d'inflexion
sur ton tableau de signes, tu peux en effet rajouter une ligne de la variation de fn', mais ici ce n'est pas demandé (ni utile).
enfin, pour être précis,
"donc les points d'inflexion sont bien x1 et x2" --- attention, x1 et x2 sont les abscisses des points d'inflexion.
A priori l'exercice est donc terminé, les abscisses des points d'inflexion seraient
pour le point d'inflexion A(2n + n sqrt(2)) /n²
pour le point d'inflexion B (-2n + n sqrt(2)) /n²
le point d'inflexion A(2n + n sqrt(2)) /n² ---- écriture incorrecte
un point du plan est défini par 2 coordonnées : ce que tu écris n'est que l'abscisse
(l'ordonnée n'est pas demandée par l'énoncé)
par ailleurs tu peux simplifier l'écriture : cf 11-02-21 à 19h58 et 20h39
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