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fof=f bijection, injection, surjection
Bonjour,
Voilà j'ai un DM et je bloque sur un question...
Alors j'ai f une application de E dans E telle que fof=f. Je dois montrer que si f est inj ou surj alors f est bijective.
Je vous explique il suffirais de montrer que fof=idE, ainsi on aura f une involution et une telle application est une bijection.
Donc fof est bijection qui est à la fois une injection et une surjection.
Or on sait que si gof est injective, f est injective. (avec g=f)
si gof est surjective, g est surjective. (g=f)
f est inj et surj, donc on a bien f bijective.
Le problème c'est que je ne sais pas comment montrer fof=idE....
Merci.
Bonjour,
Tu sais que f°f=f.
Sachant ça, tu as peu de chances de trouver que f°f=id --> ça impliquerait f=id... ! (ce qui n'est pas forcément le cas, il y a beaucoup d'applications autres que l'identité qui vérifient f°f=f ! par exemple, l'application (x,y)->(x,0) de R2 dans R2)
... je vois ca que tu veux dire.
Bonjour
* f injective : 
x 
E, y E, f(x)= f(y) 
x = y
or fof = f donc x E f(f(x)) = f(x) donc f(x) = x donc f est l'identité de E qui est bijective
* f surjective: y E, 
x E tq y = f(x)
donc f(y)= f(f(x)) = f(x) [par hypothèse sur f] = y donc f est l'identité de E
Sauf erreur.
Bonjour
Si f est bijective on voit, en composant par f^-1, que f est forcément l'identité. Cela déplace l'exercice..
.
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