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fonction x^a

Posté par rust (invité) 02-09-05 à 18:30

bonjour,

je cherche a faire une etude de la fonction x:-> x^a (premier probleme, je ne sais pas a quoi appartient a).
j'ai d'abord penser a faire une bete derivée donc f'(x)=ax^(a-1) mais faut avouer que ca m'aide pas franchement pour trouver son signe.

j'ai ensuite penser a faire f(x)=x^a= exp (ln(x^a))=exp ((a.ln(x))
donc f'(x) = a/x . exp (a.ln(x)) j'arrive donc a : exp (a.ln(x))>0 d'ou f'(x)<0 si a<0 et x>0 ou a>0 et x<0; et f'(x)>0 dans les autres cas.

donc je pensais qu'il fallait faire 2 tableau selon que a soit positif ou negatif (une mauvaise idée je pense). j'ai donc commencer par a>0 donc j'avais f décroissante jusqu'a 0 et croissante après. seulement j'ai essayer avec simplement x^3 et ca ne fonctionne plus.

et je reste bolqué là (je sais j'ai pas beaucoup avancé, c'est pas fautre d'avoir essayer).
j'aimerais savoir si vous pouviez m'aider a resoudre mon probleme.
merci de votre aide

Posté par
cinnamonre : fonction x^a 02-09-05 à 18:31

salut,

quel est l'énoncé de ton exo ?

Posté par rust (invité)re : fonction x^a 02-09-05 à 18:59

je n'ai pas d'énoncé, la prof non a juste dit a le fin de "faire l'etude de la fonction x^a"

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction x^a 02-09-05 à 19:05

Oui, mais quelle est ta définition de ^ ?

Si c'est x^a = e^{a\ln x}, c'est facile.
Cette expression n'est définie que pour x>0.
Sa dérivée est \frac{a}{x}x^a, du signe de a

Posté par rust (invité)re : fonction x^a 02-09-05 à 19:29

en effet c'est bien a ca que je pensais, seulement je n'avais pas tilté que ce n'etait definie que pour x>0.
merci

Posté par rust (invité)re : fonction x^a 02-09-05 à 20:49

alors voilà, j'ai fini l'exercice.

donc f est definie sur R+.
elle  est decroissante si a<0 et la limite en l'infini est +inf et celle en 0 est 0.
elle est croissante si a>0 et la limite en l'infini est 0 et celle en 0 est +inf.

je ne pense pas m'etre trompé.
il me reste quand meme un probleme: ne peut-on pas faire l'etude avant 0 ?

Posté par elessar53 (invité)re : fonction x^a 02-09-05 à 21:57

Y'a pas continuité de ta fonction avant 0, c'est un "vrai bordel". (dixit mon prof de maths )

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction x^a 03-09-05 à 05:47

rust, si ta fonction f est x|\to e^{a\ln x}, elle n'est pas définie pour x<0. On ne peut donc pas l'étudier sur \mathbb{R}^-, c'est tout.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : fonction x^a 03-09-05 à 10:11

Oui mais la fonction à étudier était f(x) = x^a et pas f(x) = e^{a.ln(x)}

la "a" est probablement un paramètre et alors il faudrait étudier les variations de f(x) = x^a pour différentes valeur ou intervalles de "a"

Par exemple.
Si a > 0
f(x) = x^a existe pour x dans R.

Il n'y a donc pas de raison de se limiter à l'étude dans R*+
-----
Sans être bien sûr que c'est comme cela qu'il faut interpréter le problème, je ne continue pas.


Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction x^a 03-09-05 à 10:24

Je suis absolument d'accord avec toi, J-P.
J'ai bien écrit "si ta fonction est..."
Je ne souhaitais pas aller plus loin, vu le "je n'ai pas d'énoncé" ci-dessus.

Nicolas

Posté par
ciocciure : fonction x^a 03-09-05 à 11:01

salut à tous
c'est un exo typique de prépa ça il me semble
et comme l'a fait remarqué J-P le sage le a est un paramètre donc tu étudies ta fct sur R bien sur (car le fait de passer en exp est une astuce qui ne marche que sur R+ )
et donc allons y gaiment f(x)=x^a donc définié sur R zt f'(x)=ax^(a-1) et donc tu étudies le signes de ça en fct de a
donc d'abord a positif ......blablabla... peut être même que tu auras encore une condition sur a pour trouver limites et asymptotes genre a\ge1 etc etc

ensuite tu fais pareil pour a négatif
et c fini
bonne bourre

Posté par rust (invité)re : fonction x^a 03-09-05 à 12:55

donc en fait il faudrait que je fasse:
-si a>o et x>0
-si a>0 et x<0
-si a<0 et x<0
-si a<0 et x>0

et je pourrais meme me contenter de ne faire que pour x<0 puisque j'ai deja fait l'etude sur R+ grace a l'exponentielle.
c'est bien ca ?

Posté par
ciocciure : fonction x^a 03-09-05 à 13:47

oui bien sur si ton étude sur R+ a été faite correctement tu peux finir en traitant x négatif et voir quelles conditions apparaissent sur a
peut être effectivement les euls cas sont a postif ou a négatif
à toi de voir
bye

Posté par
SquaLre : fonction x^a 03-09-05 à 13:59

a est-il un entier dans ta fonction ?

Posté par rust (invité)re : fonction x^a 03-09-05 à 14:15

"a est-il un entier dans ta fonction ?"

je ne sais pas, comme je l'ai dit la prof a juste dit a la fin de l'heure de "faire l'etude de la fonction x^a"

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction x^a 03-09-05 à 14:58

A mon avis, il faut commencer par définir x^a. Je propose le petit texte ci-dessous. Il comporte peut-être des erreurs. Merci dans ce cas de me corriger gentiment.

--

On cherche à définir f(x)=x^a

pour a\in\mathbb{N}, la fonction est définie sur \mathbb{R} par f(x)=x...x (a facteurs), et par convention x^0=1

pour a\in -\mathbb{N}, la fonction est définie sur \mathbb{R}^* par x^a=\frac{1}{x^a}

pour a=\frac{1}{2k}, k\in\mathbb{N}^*, la fonction est définie sur \mathbb{R}^+ comme l'unique réel positif tel que f(x)^{2k}=x

pour a=\frac{1}{2k+1}, k\in\mathbb{N}^*, la fonction est définie sur \mathbb{R} comme l'unique réel tel que f(x)^{2k+1}=x

pour a=\frac{p}{q}, p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{N}^*, p et q premiers entre eux, la fonction est définie :
- \mathbb{R}^{+*} si q est pair par f(x)=(x^p)^{1/q}
- \mathbb{R}^{*} si q est impair par f(x)=(x^p)^{1/q}

pour a réel quelconque, la fonction est définie sur \mathbb{R}^{+*} par f(x)=e^{a\ln x}

Donc, x\mapsto x^a peut se définir :
-si a est irrationnel ou rationnel p/q avec p et q premiers entre eux et q pair, uniquement sur \mathbb{R}^{+*}, par e^{a\ln x}
- si a est rationnel p/q avec p et q premiers entre eux et q impair, sur \mathbb{R}^{*}, par f(x)=(x^p)^{1/q}

En d'autres termes, on ne peut définir x^a sur les x négatifs que si a est rationnel p/q avec p et q premiers entre eux et q impair.

Posté par
SquaLre : fonction x^a 03-09-05 à 15:29

J'avais pensé à la même chose (à propos du dénominateur pair ou impair) c'est pourquoi je demandais si "a" appartenait à un ensemble défini

Donc ce qu'a écrit Nicolas_75 me semble tout à fait correct.


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