Bonjour Polvo


- Question 1 -
f(x) = (x + 3)² - 5
D_f =


- Question 2 -
Soient a et b deux réels de ]-; -3], tels
que a < b :
f(b) - f(a)
= (b + 3)² - 5 - (a + 3)² + 5
= (b + 3)²- (a + 3)²
= (b + 3 - a - 3)(b + 3 + a + 3)
= (b - a)(b + a + 23)

Comme a < b, alors b - a > 0

Comme a -3
et b -3,
alors : a + b -23
D'où : a + b + 23 0

Finalement :
(b - a)(b + a + 23) 0
Donc :
f(b) - f(a) 0
f(b) f(a)

Conclusion : f est décroissante sur ]-; -3]


- Question 4 -
f(x) = (x + 3)² - 5
= x² + 2x3 + 3 - 5
= x² + 23 x - 2


- Question 5 -
f(x) = (x + 3)² - 5
= (x + 3)² - (5)²
= (x + 3 - 5)(x + 3 + 5)


- Question 6 -
f(2)
= (2)² + 23 × 2 - 2
= 2 + 26 - 2
= 26

f(-3)
= (-3)² + 23×(-3) - 2
= 3 - 2×3 - 2
= 3 - 6 - 2
= -5

f(0) = 0² + 23 ×0 - 2 = -2


- Question 7 -
(x + 3 - 5)(x + 3 + 5) = 0

....


- Question 8 -
f(x) 0
(x + 3 - 5)(x + 3 + 5) 0
Tableau de signes ...


A toi de tout reprendre, bon courage ...

grand mici oceanne je t'embrasse!

f(x)=(x+racine de 3)au carré²

1)donner l'ensemble de definition de f

x-> f(x) est la somme et composée de fonctions définie sur IR.
  donc x->f(x) est définie sur IR.

  Df=IR


2)Etudier le sens de variation de f sur ]-l'infini;-racine de 3]
on admetra que f est croissante sur ]-racine de 3;+l'infini[

  

    x->f(x) est la composée de :

    u : x->x²-5
    v : x-> (x+racine(3))   et f = uov(x).

  x-> (x+racine(3))  est croissante sur ]-l'infini;-racine de
3];
   et v(-racine(3)) = 0.
  x -> x²-5 est  décroissante sur ]-l'infini;0] et croissante
sur  [0;+l'infini[

   Par composition, on a donc :

    f décroissante sur  ]-l'infini;-racine de 3];
    f croissante sur [-racine3 ; + l'infini[


Dresser le tableau de variation de f


      - l'infini              -racine(3)         +l'infini
      --------------------------------------------
                                         |
  f          décroissante       |      croissante  



3)Dresser un tableau de valeurs de f(x) pour x variant de -6 à 4 par pas de
  2.

x     -6             -4             -2         0          2    
      4  
      -----------------------------------------------------
f(x)   13,21     0.14     -4,92      -2          8,92     27,85      
      



A l'aide de ce tableau et de la question précédente,construisez
cf la courbe representative de la fonction f dans un repere orthonormé.

     Il suffit de reporter les valeurs de f du tableau précédents
et de faire un shéma soigné.

4)Développer f(x)


   On utilise l' identité remarquable :  (a+b)²=a²+b²+2ab

  Donc : f(x) = x²+3+2*racine(3)*x - 5 = x²+2*racine(3)*x - 2

5)Factoriser f(x)

On utilise l' identité remarquable : a²-b² = (a+b)*(a-b)

Donc  f(x) = (x+racine(3))²- (racine(5))²
                  = (x+racine(3)+ racine(5)) *  (x+racine(3)-racine(5))

6)Donner les valeurs exactes de f(racine de 2),f(-racine de 3) et f(0)

   f(racine de 2) = (racine2)²+2*racine(3)*racine2 - 2
                           = 2 +2*racine(6)-2 = 2*racine(6)


   f(-racine de 3)=(-racine3)²+2*racine(3)*(-racine3) - 2  
                           = 3 -2*racine(9)-2 = 3-2*3-2= -5

  f(0) = 0²+2*racine(3)*0- 2 = -2
  

7)Résoudre algebriquement  f(x)=0


  On prend la forme factoriée de f(x) .

  
  f(x) = 0 <=>
  (x+racine(3)+ racine(5)) *  (x+racine(3)-racine(5)) = 0

Or un produit de facteurs est nul ssi un des facteur est nul.


  L' ensemble des solutions est donc :

  S = { -(racine(3)+ racine(5));  -racine(3)+ racine(5)}



8)f(x) plus grand ou egale a 0

  On prend la forme factoriée de f(x) .

  
  f(x) >= 0 <=>
  (x+racine(3)+ racine(5)) *  (x+racine(3)-racine(5)) >= 0


   Or un trinôme du second degré est positif à l' extérieur des
racines .

  Donc  S = ]-l'infini;  -racine(3)- racine(5) ]
                U  [-racine(3)+ racine(5)}; + l'infini[
    

9)f(x) plus petit ou egal a 6


  On forme : f(x) - 6 = (x+racine de 3)²-5 -6
                                   =  (x+racine de 3)² -11
                                   = (x+racine de 3)² - racine(11)²
   = (x+racine3 - racine11) * (x+racine3 + racine11)


On est donc amené à résoudre :

   (x+racine3 - racine11) * (x+racine3 + racine11) <=0

   S = [-racine3 - racine11; -racine3 + racine11]