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fonction

Posté par
popo21 06-10-07 à 11:24

Voila j'ai un petit pb de math (c'est pour lundi) que je n'arrive pas resoudre est ce que qlq peut m'aider
Merci

Montrer que la fonction x-> 1/q si x=p/q, p et q premier entre eux
                        x->0 sinon
est paire et continue en 0

Et que tte fct en escalier qui lui est inferrieure est nulle
Alors qu'aucune fct en escalier qui lui est superieure est nulle






Voila merci d'avance    

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction 06-10-07 à 11:44

Bonjour,

a) Que vaut f(0) ?
b) Parité ?
c) Pour la continuité, que te faut-il montrer ? (avec les epsilon, etc...)
Fais-le...

Nicolas

Posté par
popo21re : fonction 07-10-07 à 17:16

Merci Nicolas pour ta reponse mais je n'y arrive tjs pas
je comprend pas trop comment montrer si c pair ou pas.
Et je ne vois pas non plus comment faire pour comparer  cette fct a une fct en escalier.
Si tu pouvais m'eclairer une nvelle fois sa serai super.
Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction 08-10-07 à 08:02


Je suis surpris que tu n'y arrives pas à répondre à mes 3 questions.

a) Que vaut f(0) ?

0 ne peut pas s'écrire de la forme p/q avec... donc f(0)=0

b) Parité ?

Le domaine de définition est R, donc symétrique par rapport à 0.

Que vaut f(-x) ?

1er cas : x est de la forme p/q avec p et q premiers entre eux.
Alors f(x) = 1/q
De plus -x = -p/q est de la forme p'/q avec p' et q premiers entre eux (p'=-p)
Donc f(-x) = 1/q
Donc f(x)=f(-x)

2ème cas : x n'est pas de la forme ci-dessus. Alors -x non plus.
f(x)=f(-x)=0

Dans les deux cas, f(x)=f(-x)

Donc f est paire

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction 08-10-07 à 08:09

c) Pour la continuité en 0, que te faut-il montrer ? (avec les epsilon, etc...)

Ma question est une question de cours.

Il faut montrer :
3$\forall \epsilon>0,\quad\exists\eta>0,\quad\forall x\in\mathbb{R},\quad |x|<\eta\Longrightarrow |f(x)|<\epsilon

Montrons-le...

Soit donc 3$\epsilon>0 quelconque.

Je choisis 3$\eta=\epsilon.

Soit 3$x quelconque tel que 3$|x|<\eta

1er cas : 3$xest de la forme p/q avec p et q premiers entre eux.
3$\frac{|p|}{|q|}=|x|<\eta=\epsilon donc 3$\frac{1}{|q|}<\frac{\epsilon}{|p|}\le\epsilon
Donc 3$|f(x)|=\frac{1}{|q|}<\epsilon

2ème cas : sinon, 3$|f(x)|=0<\epsilon

Dans les deux cas, 3$|f(x)|<\epsilon

CQFD

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
popo21re : fonction 08-10-07 à 23:38

merci bcp
j'ai bien compris en faite je me prenais trop la tete
c'etait pas si dur
merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction 09-10-07 à 04:12

Je t'en prie.


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