Salut

Ben graphiquement ça se voit assez bien.
Etre uniformément continue veut dire quoi graphiquement? Qu'en gros on pourra toujours trouver une boite telle que si on place son centre en n'importe quel point de la courbe, alors cette dernière ne sortira jamais pas le haut ou le bas de la boite (c'est à dire que la fonction ne (dé)croît pas brusquemnt).

Bref, quelle est alors l'idée? C'est de "coller" les boites et de prendre la droite qui join 1 sommet d'une boite à l'autre. (Il faut faire le graphique pour comprendre)

Riougeureusement comme ça s'écrit ?

Soit t un réel positif quelconque. On peut l'encadrer par deux réels x et y distants de : avec .

Ensuite :


Chaque terme est majoré par l'epsilon dans la définition de l'uniforme continuité. Ainsi :
et donc :
CQFD