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fonction 2xexp(x)

Posté par
wantz 20-12-11 à 10:01

Bonjour
I=[0,1] f(x)=2xexp(x)
La première question de mon exercice consiste à montrer que f est une bijection de I sur f(I) que l'on précisera ce que j'ai fait en montrant que f est continue sur R et que f est strictement croissante sur I. De plus j'ai défini f(I)=[0,2e]
Je dois maintenant donner las variations de f^-1, mais je ne vois pas comment trouver f^-1....
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Tigweg Correcteurre : fonction 2xexp(x) 20-12-11 à 10:07

Bonjour,

si f est une bijection strictement monotone de l'intervalle I sur l'intervalle f(I), alors f^{-1} est une bijection strictement monotone de f(I) sur I, et de même monotonie que f :
ce théorème sert justement à trouver les variations de la réciproque, même quand il est impossible (comme ici!) de la déterminer explicitement!

Posté par
wantzre : fonction 2xexp(x) 20-12-11 à 10:12

Merci pour cette réponse rapide, ce théorème a-t-il un nom?

Posté par
Tigweg Correcteurre : fonction 2xexp(x) 20-12-11 à 10:14

Avec plaisir!
ce théorème ne porte pas de nom, à ma connaissance. Tu ne l'as pas vu en classe?

Posté par
wantzre : fonction 2xexp(x) 20-12-11 à 10:16

j'ai surement du le voir mais je ne m'en souvenais plus... honte à moi

Posté par
DHilbertre : fonction 2xexp(x) 20-12-11 à 10:21

A titre indicatif, voir la fin du document Web dont le lien est ici :

A +

Posté par
Tigweg Correcteurre : fonction 2xexp(x) 20-12-11 à 10:22

Sa démonstration tient d'ailleurs en deux lignes:

supposons f strictement croissante de I sur f(I);

soient a' et b' dans f(I), avec a' < b' .

Il existe a et b dans I tels que a' = f(a) et b' = f(b) , donc f^{-1}(a') = a et f^{-1}(b') = b.

Si f^{-1}(a') = a était supérieur ou égal à f^{-1}(b') = b, alors, par stricte croissance de f, cela entraînerait :

f(a) \ge f(b), c'est-à-dire a' \ge b':

contradiction, donc f^{-1}(a') < f^{-1}(b') .

Ainsi, f^{-1} est strictement croissante de f(I) sur I !

Posté par
Tigweg Correcteurre : fonction 2xexp(x) 20-12-11 à 10:25

Bonjour David Hilbert!

Le document que tu proposes comporte quelques erreurs (le contraire d'une inégalité stricte est une inégalité large).

Posté par
DHilbertre : fonction 2xexp(x) 20-12-11 à 10:29

@Tigweg : Ne lui ai-je pas indiqué de se focaliser sur le dernier théorème ?

A +

Posté par
Tigweg Correcteurre : fonction 2xexp(x) 20-12-11 à 13:28

Oui, c'est bien dans celui-ci qu'il y a une faute, DHilbert !


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