Bonjour,

en effet :

Ainsi soit, une fonction f(x) = 1/2x (8-x)

qui peut s'écrire f(x) = -1/2 (x-4)²+8-->si on développe,
on obtient bien 1/2(8-x).

On travaille donc sur f(x)=-1/2(x-4)²+8

On sait que :


f est strictement croissante si pour a<b ds un intervalle donné on a f(a)<f(b) .

f est strictement décroissante si pour a<b ds un intervalle donné on a f(a>f(b)


Dans [0;4]:

avec a<b : f(a)-f(b)=-1/2(a-4)²+8-[-1/2(b-4)²+8]

Après calculs :

f(a)-f(b)=-a²/2+b²/2+4a-4b

f(a)-f(b)=1/2(b²-a²)-4(b-a)

........=1/2(b+a)(b-a)-4(b-a)

........=(b-a)[1/2(b+a)-4] (1)

Comme  a<b par hypothèse , alors (b-a)>0 .

Comme a<b<=4 dans l'intervalle [0;4], alors [1/2(b+a)-4]<0 car b+a<8 et 1/2(b+a)<4.

Donc f(a)-f(b)<0 car l'un des facteurs de (1) est >0 , l'autre <0.

Comme f(a)-f(b)<0, alors f(a)<f(b). La fonction est croissnate ds l'intervalle [0;4]-->voir définition soulignée.

Tu fais la même chose pour [4;8] et tu remarqueras que :

1/2[(b+a)-4]>0 donc f(a)-f(b)>0 donc f(a)>f(b) alors que par hypothèse a<b donc la fct est décroissante ds cet intervalle.

La fct passe par un max pour x=4 qui est 8 car :

pour x=4 :

f(x)=-1/2(4-4)²+8=8

Résoudre f(x)=4

-1/2(x-4)²+8=4

-1/2(x-4)²+4=0

4-1/2(x-4)²=0

2²-1/2(x-4)²=0-->c'est a²-b²=(a+b)(a-b) avec a=2 et b=????

On écrit :

2²-[1/V2(x-4)]²=0-->V=racine carrée donc b=1/V2(x-4)

[2+1/V2(x-4)][2-1/V2(x-4)]=0

Tu n'as plus qu'à annuler chacun des facteurs.

...sauf inattentions possibles et erreurs de calcul!!

A+

Papy Bernie, est ce qu'on peut utiliser le méthode qui suit et si oui comment terminer?
soient a et b tq a<b a²<b²car la fonction carré est croissante sur [0;+
->-
ensuite il faut ajouter respectivement 4a et 4b et là je ne pense pas qu'on puisse conclure vu que a et b sont Merci

le[?]: lire: ²

La  méthode indiquée est celle qui est donnée en classe de seconde . Je ne vois pas pourquoi tu veux chercher autre chose. De plus elle s'applique à toutes les fonctions étudiées en cette classe.

Ta méthode ne me semble pas claire du tout. On te donne la fonction :

f(x)=-1/2(x-4)²+8

et non f(x)=x² ni f(x)=-ax² (avec a=1/2)

Retiens bien les 2 définitions soulignées : elles te resserviront.

A+

Merci Papy Bernie pour ces explcations claires et précises
@+

merci Papy Bernie, j'essayais cette méthode car on faisait svt comme ça en seconde: on part de a<b et on fait différentes transformations (en utilisant le sens des fonctions "carré" et "inverse" dont le sens de variation est démontré en cours, donc qu'on peut réutiliser dans des démonstrations, jusqu'à ce qu'on arrive à f(a)<f(b) par exemple. Vous n'êtes pas d'accord avec cette méthode?

Bonjour Elieval,

le pb, quand on propose une réponse à un élève, c'est que l'on ne sait pas ce qui a été démontré ou pas , en cours. Ce qui est sûr, c'est que dans la leçon sur les fonctions, on commence par donner les 2 définitions que j'ai données à THS.

Ensuite il me semble que , pour ta technique, il faudrait d'abord faire un changement d'origine qui serait A(4;8) et l'on aurait alors(X et Y étant les nouvelles coordonnées avec A pour origine) :

8+Y=-1/2(4+X-4)²+8 car on sait que : x=xA+X et y=yA+Y

soit Y= -1/2 X²

Donc d'après le cours, fonction  croissante de -inf à 0 (qui est le point d'abscisse +4 ds l'ancien repère), etc..

Et puis, pour tout te dire, je n'ai jamis été prof de maths et je ne fais des maths que pour le plaisir!!

A+