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Posté par
Saturo 14-10-24 à 20:32

Bonjour à tous,
Je rencontre actuellement un problème sur un exercice de math . Si quelqu'un a des suggestions ou des idées, je serais vraiment reconnaissant. Merci d'avance pour votre temps .

Voici l'énoncé :
f(x)=\frac{x^2 cos\alpha - 2x + cos\alpha}{x^2 - 2x cos\alpha + 1}

Avec \alpha \epsilon ] 0 , Pi[

a) SoitB , le point d'intersection de (C) et de l'axe (OY) et (D) la tangente à (C) en B.

Démontrer que l'intersection de (C) et (D) a deux éléments: le point Bet un autre point, appelé M.

Déterminer. en fonction de , les coordonnées de M

b)Quel est l'ensemble des points M lorsque   décri l'intervalle ] 0 , Pi [ ? Le dessiner.

J'ai trouvé les coordonnées de B ( 0 ; cos ())

Et la droite D : y = (2cos^2\alpha - 2) x + cos\alpha

Mais j'arrive pas à trouver les coordonnées de M\alpha

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction 15-10-24 à 08:49

Bonjour,
J'écris a au lieu de .
Je n'ai pas fait les calculs, mais commencer par simplifier 2cos2(a) -2 peut aider.
Dans l'équation aux abscisses de l'intersection de (Ca) et (Ta), on doit obtenir une factorisation par x2.

Posté par
carpediemre : Fonction 15-10-24 à 09:00

salut

\dfrac {x^2 \cos a - 2x + \cos a} {x^2 - 2x \cos a + 1} = 2(\cos^2 a - 1} + \cos a

sachant que \dfrac a b = c \iff a = bc on l'applique et on regroupe tout dans un même membre puis on factorise l'équation qui semble être du troisième degré en x

à toi de nous montrer ce qu'on obtient ...

enfin géogebra peut aider à regarder ce qui se passe ...

Posté par
carpediemre : Fonction 15-10-24 à 09:03

carpediem @ 15-10-2024 à 09:00

\dfrac {x^2 \cos a - 2x + \cos a} {x^2 - 2x \cos a + 1} = 2(\cos^2 a - 1} )x+ \cos a

enfin on peut noter que :

x^2 - 2x \cos a + 1 = (x - \cos a)^2 - \sin^2 a

2(\cos^2 - 1)x + \cos a = \cos a - 2x \sin^2 a

mais bon peut-être pas utile car il faudra de toute façon tout développer et réduire dans un même membre ...

Posté par
Saturore : Fonction 15-10-24 à 14:34

Bonjour,
Merci pour vos réponses .

Pour l'équation de la tangente : y = -2xsin^2\alpha + cos\alpha

En posant f(x) = y

Et après quelques simplifications je trouve :
2x^3sin^2\alpha -4x^2sin^2\alpha cos \alpha = 0 \\ x^2( 2xsin^2\alpha -4sin^2\alpha cos \alpha ) = 0

x= 0 ou bien x = 2 cos

L'abscisse du point M : 2 cos ()

L'ordonné du point M : 4cos^3\alpha - 3cos \alpha = cos (3\alpha)

Est-ce correct ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction 15-10-24 à 17:35

Oui, c'est tout bon !

Posté par
carpediemre : Fonction 15-10-24 à 19:53

comme tu vois il suffit de mettre les mains dans le cambouis et ça vient ... même sans mes petites simplifications qui aident bien !!

Saturo @ 15-10-2024 à 14:34

2x^3sin^2\alpha -4x^2sin^2\alpha cos \alpha = 0 {\red \iff } x^2( 2xsin^2\alpha -4sin^2\alpha cos \alpha ) = 0 \red \iff 2x^2 \sin^2 a (x - 2 \cos a) = 0


une précision est nécessaire avant de passer à ce que tu écris ensuite ...

Posté par
Saturore : Fonction 16-10-24 à 11:27

Bonjour, Merci les champions !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction 16-10-24 à 11:56

De rien
Comment as-tu traité b) ?

Posté par
Saturore : Fonction 16-10-24 à 13:11

Salut,

x= 2 cos \alpha => cos \alpha = \frac{x}{2}

Et je remplace le cos par son expression dans y

y = 4 cos^3\alpha - 3 cos \alpha

y = 4( \frac{x}{2})^3 - 3 (\frac{x}{2})

L'ensemble des points M est la courbe représentative de la fonction :

g(x) = 4(\frac{x}{2})^3-3 (\frac{x}{2})

avec -2 x 2 et -1 g(x) 1


Est-ce correct ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction 16-10-24 à 13:53

Oui.
On peut aussi écrire y = (1/2)(x3-3x)
et g(x) = (1/2)(x3-3x).
Étudier les variations de g me semble utile.

Quand varie de 0 à , 2 cos() varie de 2 à -2.
Donc étudier g sur ]-2;2[.

Posté par
Saturore : Fonction 16-10-24 à 14:09

D'accord !

Merci beaucoup , à la prochaine sur l'île !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction 16-10-24 à 16:22

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
carpediemre : Fonction 16-10-24 à 17:27

carpediem @ 15-10-2024 à 19:53

une précision est nécessaire avant de passer à ce que tu écris ensuite ...


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