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Fonction Arctan

Posté par Drazele (invité) 17-03-07 à 00:52

Bonjour,

pourriez-vous m'aidez pour cet exercice s'il vous plait:

1) Lorsque c'est possible, calculer Tan(Arctan(x)+Arctan(1/x)) et en déduire les valeurs possible de g(x)=Arctan(x)+Arctan(1/x)
2) Montrer que Arctan(x)+Arctan(1/x) est constante sur chaque intervalle ou elle est continue
3) Montrer que arctan(x) et arctan(1/x) sont dérivables sur tout intervalle inclu dans le domaine de définition de g(x)noté D
4) Calculer la dérivée de g pour tout x appartenant à D
5) Retrouver alors le résultat de 3)

J'ai trouvé que D est *
la fonction g est continue sur *
je sais que arctan(x)+arctan(1/x)= /2 si x positif et -/2 si x négatif
J'ai déjà répondu à la question 4) et 5)

Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction Arctan 17-03-07 à 11:24

Bonjour,

1) En utilisant les formules du cours, commence par calculer cos(Arctan(x)+Arctan(1/x)). Conclusion ?

Posté par
infophilere : Fonction Arctan 17-03-07 à 12:01

Bonjour Nicolas et Drazele

5$ \forall x\in \mathbb{R}^{\ast},cos(Arctan(x)+Arctan(\frac{1}{x}))=0

Donc on ne peut pas prendre la tangente.

Sauf erreur.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction Arctan 17-03-07 à 12:47

Le cosinus est nul, alors que le sinus est non nul.

Donc g(x) est égale à +/- pi/2 modulo pi.
Reste à étudier le signe.

Bonjour Kevin.

Posté par
infophilere : Fonction Arctan 17-03-07 à 12:49

Ah oui c'est stupide j'ai utilisé le résultat qu'il fallait démontrer

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonction Arctan 18-03-07 à 03:13

1) Une possibilité...

Lemme 1 : \fbox{\forall x\in\mathbb{R},\quad\cos\,\arctan x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}

Démonstration.
On montre de manière élémentaire que : \forall y\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[,\quad \cos^2y=\frac{1}{1+\tan^2y}
On pose y=\arctan x :
\forall x\in\mathbb{R},\quad (\cos\,\arctan x)^2=\frac{1}{1+(\tan\,\arctan x)^2}
Or \forall x\in\mathbb{R},\quad\tan\,\arctan x=x, donc :
\forall x\in\mathbb{R},\quad (\cos\,\arctan x)^2=\frac{1}{1+x^2}
On prend la racine :
\forall x\in\mathbb{R},\quad |\cos\,\arctan x|=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
Or cosinus est positif sur \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, donc :
\forall x\in\mathbb{R},\quad\cos\,\arctan x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

Lemme 2 : \fbox{\forall x\in\mathbb{R},\quad\sin\,\arctan x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}

Démonstration.
On montre de manière élémentaire que : \forall y\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[,\quad \sin^2y=\frac{\tan^2y}{1+\tan^2y}
On pose y=\arctan x :
\forall x\in\mathbb{R},\quad (\sin\,\arctan x)^2=\frac{(\tan\,\arctan x)^2}{1+(\tan\,\arctan x)^2}
Or \forall x\in\mathbb{R},\quad\tan\,\arctan x=x, donc :
\forall x\in\mathbb{R},\quad (\sin\,\arctan x)^2=\frac{x^2}{1+x^2}
On prend la racine :
\forall x\in\mathbb{R},\quad |\sin\,\arctan x|=\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}
\forall x\in\mathbb{R},\quad |\sin\,\arctan x|=\frac{sgn(x).x}{\sqrt{1+x^2}}
où sgn(x) désigne le signe de x (-1 ou +1).
Or, sur \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, \sin\,\arctan x est du même signe que x, donc :
\forall x\in\mathbb{R},\quad sgn(x).(\sin\,\arctan x)=\frac{sgn(x).x}{\sqrt{1+x^2}}
\forall x\in\mathbb{R},\quad \sin\,\arctan x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Rappels 3 :
\fbox{\forall a,b\in\mathbb{R},\quad \sin(a+b)=\sin a\,\cos b+\sin b\,\cos a\\\forall a,b\in\mathbb{R},\quad \cos(a+b)=\cos a\,\cos b-\sin a\,\sin b}

Retour à la question 1 de l'exercice :

g(x)=\arctan x+\arctan\frac{1}{x} est définie sur \mathbb{R}^*

En appliquant les résultats ci-dessus, on obtient :
\sin(g(x))=...=\frac{x+\frac{1}{x}}{\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}} \neq 0
\cos(g(x))=...=\frac{0}{\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}}=0
Donc :
\forall x\in\mathbb{R}^*, g(x)\in\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}
Or \arctan(...) appartient à l'intervalle \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[.
Donc g(x)=\arctan x+\arctan\frac{1}{x} appartient à l'intervalle ]-\pi;\pi[
Donc finalement :
\fbox{g(x)\in\left\{-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right\}}

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par
jeansebre : Fonction Arctan 18-03-07 à 10:50

Superbe travail!

(et à 3h13, s'il vous plaît!)

Posté par
infophilere : Fonction Arctan 18-03-07 à 11:09

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Fonction Arctan 18-03-07 à 11:21

f(x) = arctg(x) + arctg(1/x)

f '(x) = 1/(1+x²) - 1/(x²(1 + (1/x²)))
f '(x) = 1/(1+x²) - 1/(1+x²)
f '(x) = 0

--> f(x) est constante sur tout intervalle "en une pièce" où f(x) existe.

f(x) existe sur ]-oo ; 0[ U ]0 ; +oo[

f(-1) = 2*arctg(-1) = -Pi/2
f(1) = 2*arctg(1) = Pi/2

Et donc:
arctg(x) + arctg(1/x) = -Pi/2 sur ]-oo ; 0[
arctg(x) + arctg(1/x) = Pi/2 sur ]0 ; +oo[

-->
tan(arctg(x) + arctg(1/x)) = -oo sur ]-oo ; 0[
tan(arctg(x) + arctg(1/x)) = +oo sur ]0 ; +oo[

Mais à t-on le droit d'écrire cela (les 2 dernières lignes) ?
-----
Sauf distraction.  

Posté par
jeansebre : Fonction Arctan 18-03-07 à 11:22

Salut infophile.

D'après ton avatar, tu as l'air de jouer de la guitare électrique?

Sauf erreur...


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