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fonction augmentant les distances dans un compact
Soit f une application d'un espace métrique compact (E,d) dans lui-même qui augmente les distances(d(f(x),f(y))>=d(x,y) pour tout (x,y)).
1. Montrer que, pour tout a dans E, la suite u(n) définie par u(o)=a et u(n+1)=f(un) admet a pour valeur d'adhérence. En déduire que f est surjective.
2. En s'intéressant à E*E montrer que f est une isométrie.
J'arrive à montrer que a est bien une v.a. de u(n)(en raisonnant par l'absurde), mais pour la suite je ne cracherais pas sur un petit coup de main...
Bonjour
Voilà une solution qui répond à toutes les questions, mais pas dans l'ordre ou elles sont posées.
1)
On le démontre en remarquant que de la suite (fn(a)) on peut extraire une suite convergente, donc de Cauchy. Pour on peut trouver des entiers m et m+k tels que
et alors, compte tenu de l'hypothèse on a bien
Ceci entraine que
2) Pour a et b on montre que
Pour ce faire, on remarque que E
E muni de la distance sup(d,d) est compact et que la fonction F=(f,f) est elle aussi dilatante. On peut appliquer alors 1).
3) f est une isométrie:
Supposons qu'il existe a et b tels que d(f(a),f(b))>d(a,b). Alors pour tout n>2 on a
Par ailleurs, on peut choisir tel que
. En prenant un k comme dans 2) et en utilisant l'inégalité triangulaire, on voit que
ce qui est contradictoire.
4) f est surjective:
Nous venons de démontrer que f est continue. Alors f(E) est compact, donc fermé, donc de 1) il résulte que f(E)=E.
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