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Niveau terminale
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Fonction avec exponentielle

Posté par
Nonorigolo
20-01-22 à 17:57

Bonjour voici un exercice que j'ai à faire :
Dm

Exercice 1
PARTIE I
On considère la fonction f définie sur R par
f(x) = x-e^(-2x)
On appelle I la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (o; i;j).
1. Déterminer les limites de la fonction f en -∞ et en + ∞.
2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur R et dresser son tableau de variation.
3. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution a sur R, dont on donnera
une valeur approchée à 10^-2 près.
4. Déduire des questions précédentes le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

PARTIE Il
Dans le repère orthonormé (o; i;j), on appelle C la courbe représentative de la fonction
g définie sur R par :
hin
g(x) = e^-x
La courbe C et la courbe T qui représente la fonction f de la Partie I) sont tracées sur le
graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe C le plus proche de l'origine O
du repère et d'étudier la tangente à C en ce point.
1. Pour tout nombre réel t, on note M le point de coordonnées (t; e^-x) de la courbe C .
On considère la fonction h qui, au nombre réel t, associe la distance OM.
On a donc : h(t) = OM, c'est-à-dire :
h(0) = Racine de (f^2+e^-2t)
a. Montrer que, pour tout nombre réel t,
h'(t)=f(t)/racine de (t^2+e^-2t)
où f désigne la fonction étudiée dans la Partie I.
b. Démontrer que le point A de coordonnées (a ; e^-a) est le point de la courbe C
pour lequel la longueur OM est minimale.
Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la cople.
2. On appelle T la tangente en A à la courbe C.
a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente T.
On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à (e^(-a))/a
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration:
Dans un repère orthonormé du plan, deux droites D et D' de coefficients directeurs
respectifs m et m' sont perpendiculaires si, et seulement si le produit mm' est égal
à -1.
b. Démontrer que la droite (OA) et la tangente T sont perpendiculaires.
Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.


Pour l'instant je n'ai fais que la partie I jusqu'au 4 où je suis bloquée.
Pour la limite en -l'infinie j'ai trouvé - l'infinie et pour + l'infinie j'ai trouvé 0
La dérive de f(x) est 1+2e^-2x et j'ai trouvé que le signe est toujours positif donc que f est toujours croissante sur R
Mais je n'ai pas trouvé encore l'unique solution de f(x)=0
Le problême est que je ne suis pas sure de mon raisonnement et j'ai du mal à l'expliquer, d'autant plus que la prof note en priorité l'explication
Merci d'avance de votre aide

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 17:59

Voici le graphique

Fonction avec exponentielle

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:01

Il me semble que l'unique solution est égale à 0,42

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:03

Bonsoir ,
Il faut utiliser le TVI

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:06

TVI ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:09

Pour la question 4) je me disais que, étant donné que la fonction est croissante sur R et que f(x)=0 admet une solution en x=0,42 pour x<0,42 f est négative puis pour x>0,42 f est positive ?

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:11

Attention :utilise correctement toutes les données pour appliquer le TVI

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:14

Mais qu'est-ce que c'est le TVI ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:15

J'ai donc dérivé h(x)
Et j'ai trouvé h'(x) =(2t-2e^-2t)/2racine de t^2+e^-2t
Mais donc comment ça se fait que f(t) = 2t-2e^-2t?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:17

À bah oui je dois enlever les 2 en haut et en bas

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:18

Le theoreme des valeurs intermediaires.

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:19

Tu as justifié que la solution etait unique?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:21

Oui je ne l'ai pas écrit sur le forum mais j'ai bien dit que par continuité de la fonction et toujours croissante d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet qu'une solution alpha dans R

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:22

Attention, toujours croissante ne suffit pas....

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:23

Continuité, variation et que le point appartienne à la courbe ?

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:24

Il manque une condition

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:25

Je ne vois pas laquelle

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:29

Il faut que la courbe de f coupe l'axe des abscisses donc ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:32

Il faut que la courbe change de signe ?

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:32

pas la courbe

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:34

La fonction

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:35

Oui et qu'est ce qui renseigne ce changement de signe?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:38

Les valeurs de x

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:40

pense au tableau de variation :comment etre sûr d'apres ce tableau que f(x) change de signe ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:41

Ah bah puisque f est croisant sur R donc il passe par - l'infinie a + l'infinie

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:44

Oui: ne le dis pas comme celà car une fontion peut tres bien etre croissante sur R sans tendre vers +.D'accord?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:45

Donc concrètement je dis quoi ? Que f est croissante sur R donc change de signe ?

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 18:51

Croisante de -à +

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 19:00

Merci beaucoup
Et pour les variations de f' comment j'explique clairement que c'est toujours positif j'ai -2e^-2x
Parce que e^-2x est décroissant donc le signe dépend de -2 ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 19:01

Oh je me suis trompé

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 19:10

Pourrais tu rectifier ton enoncé dans la deuxieme partie.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 19:12

Le rectifier ou ?

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 19:14

"determiner le point de la courbe le plus proche de l'origine"??
Les coordonnées de M

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 19:21

Je regarde ça après manger et comme ça nous pourrons continuer l'exercice

Posté par
philgr22
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 19:22

A plus tard.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 20-01-22 à 20:08

Déterminer le point à la courbe C le plus proche de l'origine O du répète et étudier la tangente à C en ce point

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 21-01-22 à 10:29

Re bonjour,
Il faudrait que je fasse le point
Pour les limites est-ce bon si elle est de 0 en + l'infinie et -l'infini pour en - l'infinie ?
Ensuite la fonction dérivée est toujours positive sur R donc f toujours croissante ?
Ensuite pour l'unique solution de f(x)=0 alpha est environ égale à 0,42 sachant que je dois l'arrondir a 10^-2
Donc f est négative pour x<0,42 et ensuite positive pour x>0,42 car la fonction est croissante sur R et 0,42 est l'unique solution de f(x)=0 ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 21-01-22 à 10:31

Pour la PARTIE II :
J'ai pour l'instant réfléchit pour la dérivée et j'ai trouvé (2t-2e^-2t)/2racine de t^2 +e^-2t
Si j'enlève les deux j'ai encore un deux en haut ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 21-01-22 à 10:35

Et erreur dans l'énoncé, les coordonnés de A sont (alpha;e^-alpha)
Donc à partir du b. La où il y a des « a » c'est en faite alpha

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 12:15

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 12:57

Bonjour

Je réécris la partie 2  il y a des erreurs f ou x pour t.

PARTIE Il
Dans le repère orthonormé (o; i;j), on appelle C la courbe représentative de la fonction
g définie sur \R par :

g(x) = e^{-x}

La courbe C et la courbe T qui représente la fonction f de la Partie I) sont tracées sur le
graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.

Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe C le plus proche de l'origine O
du repère et d'étudier la tangente à C en ce point.

1. Pour tout nombre réel t, on note M le point de coordonnées (t; e^{-t}) de la courbe C .

On considère la fonction hqui, au nombre réel t, associe la distance OM.
On a donc : h(t) = OM, c'est-à-dire :

h(t) = \sqrt{t^2+e^-2t}

a. Montrer que, pour tout nombre réel t,  h'(t)=\dfrac{f(t)}{\sqrt{ (t^2+e^-2t)}}
f désigne la fonction étudiée dans la Partie I.

b. Démontrer que le point A de coordonnées  (\alpha ;  e^{-\alpha}) est le point de la courbe C
pour lequel la longueur OM est minimale.

Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

2. On appelle T la tangente en A à la courbe C.
a. Exprimer en fonction de \alpha le coefficient directeur de la tangente T.

On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à \dfrac{e^{-\alpha}}{\alpha}

On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration :
Dans un repère orthonormé du plan, deux droites D et D' de coefficients directeurs
respectifs m et m' sont perpendiculaires si et seulement si le produit mm' est égal à -1.

b. Démontrer que la droite (OA) et la tangente T sont perpendiculaires.
  
Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

Qu'est ce qui vous gêne sur la partie 2  
La dérivée de h est correcte.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 14:14

Déjà je ne sais pas si mes résultats de la partie 1 sont bons

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 14:40

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty \quad  \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty


f'(x)=1+2\text{e}^{-2x}

 \forall x\in \R\ f'(x)>0 la fonction est strictement croissante sur \R


fonction dérivable strictement croissante sur \R
 0\in \R donc il existe une unique valeur \alpha \in \R   telle que f(\alpha)=0

À l'aide de la calculatrice, on a  \alpha \approx 0,42

Sur ]-\infty~;~\alpha [\ f(x)<0.   Sur ]\alpha~;~+\infty [\ f(x)>0


IL y a donc une limite à revoir

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 15:53

D'accord merci beaucoup je vais voir,
Ensuite pour le a)
Je trouve presque la fonction à trouver seulement il me reste encore un 2

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 16:10

Donnez votre calcul, ce sera plus facile pour vous aider.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 17:04

J'ai donc dérivé h
Donc (2t-2e^-2t) /2*racine de (t^2+e^-2t)

Si j'enlève 2 j'ai (t-2e^-2t)/racine de (t^2+e^-2t)

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 17:04

Mais j'ai pas totalement la fonction f au dessus

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 17:12

h'(t)=\dfrac{2t-2\text{e}^{-2x}}{2\sqrt{t^2+\text{e}^{-2t}}}

Là, pas de problème. Revoir simplification de fractions

Maintenant on met 2 en facteur au numérateur.  

h'(t)=\dfrac{2(t-\text{e}^{-2x})}{2\sqrt{t^2+\text{e}^{-2t}}}

On simplifie

h'(t)=\dfrac{\cancel{2}\left(t-\text{e}^{-2x}\right)}{\cancel{2}\sqrt{t^2+\text{e}^{-2t}}}

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 17:13

Ah mais ouiii factoriser j'y avais pas pensé merci beaucoup

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle 22-01-22 à 17:14

Par contre j'ai très peu de pistes pour prouver les coordonnés de A

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