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Fonction avec exponentielle
Bonjour voici un exercice que j'ai à faire :
Dm
Exercice 1
PARTIE I
On considère la fonction f définie sur R par
f(x) = x-e^(-2x)
On appelle I la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (o; i;j).
1. Déterminer les limites de la fonction f en -∞ et en + ∞.
2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur R et dresser son tableau de variation.
3. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution a sur R, dont on donnera
une valeur approchée à 10^-2 près.
4. Déduire des questions précédentes le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
PARTIE Il
Dans le repère orthonormé (o; i;j), on appelle C la courbe représentative de la fonction
g définie sur R par :
hin
g(x) = e^-x
La courbe C et la courbe T qui représente la fonction f de la Partie I) sont tracées sur le
graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe C le plus proche de l'origine O
du repère et d'étudier la tangente à C en ce point.
1. Pour tout nombre réel t, on note M le point de coordonnées (t; e^-x) de la courbe C .
On considère la fonction h qui, au nombre réel t, associe la distance OM.
On a donc : h(t) = OM, c'est-à-dire :
h(0) = Racine de (f^2+e^-2t)
a. Montrer que, pour tout nombre réel t,
h'(t)=f(t)/racine de (t^2+e^-2t)
où f désigne la fonction étudiée dans la Partie I.
b. Démontrer que le point A de coordonnées (a ; e^-a) est le point de la courbe C
pour lequel la longueur OM est minimale.
Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la cople.
2. On appelle T la tangente en A à la courbe C.
a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente T.
On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à (e^(-a))/a
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration:
Dans un repère orthonormé du plan, deux droites D et D' de coefficients directeurs
respectifs m et m' sont perpendiculaires si, et seulement si le produit mm' est égal
à -1.
b. Démontrer que la droite (OA) et la tangente T sont perpendiculaires.
Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
Pour l'instant je n'ai fais que la partie I jusqu'au 4 où je suis bloquée.
Pour la limite en -l'infinie j'ai trouvé - l'infinie et pour + l'infinie j'ai trouvé 0
La dérive de f(x) est 1+2e^-2x et j'ai trouvé que le signe est toujours positif donc que f est toujours croissante sur R
Mais je n'ai pas trouvé encore l'unique solution de f(x)=0
Le problême est que je ne suis pas sure de mon raisonnement et j'ai du mal à l'expliquer, d'autant plus que la prof note en priorité l'explication
Merci d'avance de votre aide
Pour la question 4) je me disais que, étant donné que la fonction est croissante sur R et que f(x)=0 admet une solution en x=0,42 pour x<0,42 f est négative puis pour x>0,42 f est positive ?
J'ai donc dérivé h(x)
Et j'ai trouvé h'(x) =(2t-2e^-2t)/2racine de t^2+e^-2t
Mais donc comment ça se fait que f(t) = 2t-2e^-2t?
Oui je ne l'ai pas écrit sur le forum mais j'ai bien dit que par continuité de la fonction et toujours croissante d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet qu'une solution alpha dans R
Oui: ne le dis pas comme celà car une fontion peut tres bien etre croissante sur R sans tendre vers +
.D'accord?
Merci beaucoup
Et pour les variations de f' comment j'explique clairement que c'est toujours positif j'ai -2e^-2x
Parce que e^-2x est décroissant donc le signe dépend de -2 ?
Déterminer le point à la courbe C le plus proche de l'origine O du répète et étudier la tangente à C en ce point
Re bonjour,
Il faudrait que je fasse le point
Pour les limites est-ce bon si elle est de 0 en + l'infinie et -l'infini pour en - l'infinie ?
Ensuite la fonction dérivée est toujours positive sur R donc f toujours croissante ?
Ensuite pour l'unique solution de f(x)=0 alpha est environ égale à 0,42 sachant que je dois l'arrondir a 10^-2
Donc f est négative pour x<0,42 et ensuite positive pour x>0,42 car la fonction est croissante sur R et 0,42 est l'unique solution de f(x)=0 ?
Pour la PARTIE II :
J'ai pour l'instant réfléchit pour la dérivée et j'ai trouvé (2t-2e^-2t)/2racine de t^2 +e^-2t
Si j'enlève les deux j'ai encore un deux en haut ?
Et erreur dans l'énoncé, les coordonnés de A sont (alpha;e^-alpha)
Donc à partir du b. La où il y a des « a » c'est en faite alpha
Bonjour
Je réécris la partie 2 il y a des erreurs f ou x pour t.
PARTIE Il
Dans le repère orthonormé (o; i;j), on appelle C la courbe représentative de la fonction
définie sur
par :
La courbe et la courbe
qui représente la fonction
de la Partie I) sont tracées sur le
graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe le plus proche de l'origine O
du repère et d'étudier la tangente à en ce point.
1. Pour tout nombre réel , on note M le point de coordonnées
de la courbe
.
On considère la fonction qui, au nombre réel
, associe la distance OM.
On a donc : h(t) = OM, c'est-à-dire :
a. Montrer que, pour tout nombre réel t,
où désigne la fonction étudiée dans la Partie I.
b. Démontrer que le point A de coordonnées est le point de la courbe C
pour lequel la longueur OM est minimale.
Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
2. On appelle T la tangente en A à la courbe C.
a. Exprimer en fonction de le coefficient directeur de la tangente T.
On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration :
Dans un repère orthonormé du plan, deux droites D et D' de coefficients directeurs
respectifs et
sont perpendiculaires si et seulement si le produit
est égal à
.
b. Démontrer que la droite (OA) et la tangente T sont perpendiculaires.
Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
Qu'est ce qui vous gêne sur la partie 2
La dérivée de est correcte.
la fonction est strictement croissante sur
fonction dérivable strictement croissante sur
donc il existe une unique valeur
telle que
À l'aide de la calculatrice, on a
Sur. Sur
IL y a donc une limite à revoir
D'accord merci beaucoup je vais voir,
Ensuite pour le a)
Je trouve presque la fonction à trouver seulement il me reste encore un 2
J'ai donc dérivé h
Donc (2t-2e^-2t) /2*racine de (t^2+e^-2t)
Si j'enlève 2 j'ai (t-2e^-2t)/racine de (t^2+e^-2t)
Là, pas de problème. Revoir simplification de fractions
Maintenant on met 2 en facteur au numérateur.
On simplifie
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