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Niveau terminale
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Fonction avec exponentielle et delta

Posté par
Nonorigolo
24-01-22 à 20:23

Bonjour voilà un exercice de maths sur les fonctions avec exponentielle pour l'instant j'ai réussis jusqu'à la question 3.
Voici le sujet Maths

Exercice 2
Soit f la fonction définie sur l'intervalle I0; +ool par :
f(x) = e^x/x
On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
1.
a. Préciser la limite de la fonction f en +l'infini
b. Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe Cf.
2. Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0; +oo[ on a :
f'(x)= (e^x(x-1))/x^2
où f désigne la fonction dérivée de la fonction f.
3. Déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;+l'infinie[
On établira un tableau de variations de la fonction f dans lequel apparaîtront les limites.
4. Soit m un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel m, le nombre de
solutions de l'équation f(x) = m.
5. On note Delta la droite d'équation y = -x
On note A un éventuel point de Cf d'abscisse alpha en lequel la tangente à la courbe Cf est
parallèle à la droite Delta.
a. Montrer que alpha est solution de l'équation e^x(x-1) + x^2 = 0.
On note g la fonction définie sur [0; +l'infinie[ par g(x) = e^x(x-1) + x^2
On admet que la fonction g est dérivable et on note g' sa fonction dérivée.
b. Calculer g' (x) pour tout nombre réel y de l'intervalle [0; +l'infinie[, puis dresser le tableau
de variations de g sur [0;+l'infinie[
C.
Montrer qu'il existe un unique point A en lequel la tangente à Cf est parallèle à la
droite Delta

J'ai donc trouvé comme limite en +l'infinie, + l'infinie et f admet une asymptote verticale d'équation x=0 soit l'axe des ordonnés
J'ai donc trouvé la même fonction dérivée que dans l'énoncé
Et j'ai déterminé le signe de sa dérive et les variations de f
Mais je ne vois pas comment répondre à la question 4
Merci d'avance de votre aide

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 20:36

Pour la question 4
il vous faut donner le nombre de solutions de  \dfrac{\text{e}^{x}}{x}=m

Graphiquement vous tracez les deux courbes et vous comptez lez points d'intersection pour une valeur donnée de m

Vous utilisez le tableau de variations.

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 20:48

les *

les deux courbes

Fonction avec exponentielle et delta

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 21:41

Donc il y a deux solutions ?

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 21:47

Pas toujours, il faut discuter selon les valeurs de m.

si m est strictement inférieur à  ( valeur du minimum)  l'équation n'admet pas de solution

si m=   solution unique

si m est strictement supérieur à    l'équation admet 2 solutions distinctes.

(justification par le graphique ou par les variations et le TVI )

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 21:51

C'est comme avec Delta non ? Si delta positif ,…

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 21:53

Certes, il y a une discussion, mais il ne s'agit pas ici d'une équation du second degré.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 21:54

Oui oui je vois bien, et pour justifier il faudrait que je justifie avec les variations et non le graphique je pense
Concrètement comment je peux faire avec le TVI

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 22:01

Je pense que je vais regarde ça demain matin la fatigue apparaît là je vous souhaite une bonne soirée merci encore

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 22:05

Quelque chose dans le genre :

Sur ]0~;~1[ la fonction est dérivable, strictement décroissante,

m \in ]\mu ~; ~+\infty[ par conséquent il existe une unique valeur appartenant à ]0~;~1[ telle que f(x)=m
\mu est le minimum

On fait de même sur l'autre intervalle.

conclusion  pour une valeur  m >\mu  il existe 2 solutions pour l'équation

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 22:06

D'accord
À demain
  Bonne nuit

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 22:08

L'espère de u est un réel ?

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 24-01-22 à 22:09

Question 5 b qu'est-ce que ce  y ?

Pour l'intervalle de définition de g, c'est bien [ en O, car f n'est pas définie en 0.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 08:56

Ah oui c'est un x et non un y désolé

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 08:57

j'ai le droit de dire ça sans rien dire avant ?

hekla @ 24-01-2022 à 22:05

Quelque chose dans le genre :

Sur ]0~;~1[ la fonction est dérivable, strictement décroissante,

m \in ]\mu ~; ~+\infty[ par conséquent il existe une unique valeur appartenant à ]0~;~1[ telle que f(x)=m
\mu est le minimum

On fait de même sur l'autre intervalle.

conclusion  pour une valeur  m >\mu  il existe 2 solutions pour l'équation

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 09:55

Il faut parcourir  \R
on commence par dire : La fonction admet un minimum en 1 qui vaut \text{e}


Si m<\text{e} alors l'équation f(x)=m n'a pas de solution.

Si m=\text{e}, alors l'équation f(x)=m admet une solution unique :\text{e}

Si m>\text{e}, alors deux cas

0<x<1 voir supra

 x>1 à rédiger

Conclusion

Quelle est la signification du message de 22 : 08 ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 10:05

Je voulais savoir si le u est un réel quand vous mettez par exemple m>u

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 10:16

Je vous avais écrit que \mu était le minimum de la fonction.

Il valait donc  \text{e}. Je n'avais pas calculé encore ce minimum.

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 10:51

Rectification  à la remarque de  22 : 09

la fonction g doit bien être définie sur [0~;~+\infty[

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 14:35

Un minimum en 1 ? En x=1?

hekla @ 25-01-2022 à 09:55

Il faut parcourir  \R
on commence par dire : La fonction admet un minimum en 1 qui vaut \text{e}


Si m<\text{e} alors l'équation f(x)=m n'a pas de solution.

Si m=\text{e}, alors l'équation f(x)=m admet une solution unique :\text{e}

Si m>\text{e}, alors deux cas

0<x<1 voir supra

 x>1 à rédiger

Conclusion

Quelle est la signification du message de 22 : 08 ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 14:36

Je comprend pas vraiment désolé

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 14:38

C'est pour le cas de m>e que je ne vois pas comment faire

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 14:39

c'est surtout cela que je n'ai pas compris

hekla @ 24-01-2022 à 22:05

Quelque chose dans le genre :

Sur ]0~;~1[ la fonction est dérivable, strictement décroissante,

m \in ]\mu ~; ~+\infty[ par conséquent il existe une unique valeur appartenant à ]0~;~1[ telle que f(x)=m
\mu est le minimum

On fait de même sur l'autre intervalle.

conclusion  pour une valeur  m >\mu  il existe 2 solutions pour l'équation

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 14:57

m>\text{e}

On va donc appliquer le TVI  deux fois,  la première fois sur l'intervalle ]0~;~1[ la seconde fois sur l'intervalle ]1~;~+\infty[

 f est une fonction dérivable, strictement décroissante sur ]0~;~1[ , \ m\in ]f(1)~; ~f(0)[ par conséquent
il existe une unique valeur x_1 \in]0~;~1[ telle que f(x_1)=m

 f est une fonction dérivable, strictement croissante sur ]1~;~+\infty[ , \ m\in ]f(1)~; ~+\infty[ par conséquent
il existe une unique valeur x_2 \in]1~;~+\infty[ telle que f(x_2)=m

Conclusion on a montré qu'il existait une unique valeur x_1 appartenant à ]0~;~1[ et une unique valeur x_2 appartenant à ]1~;~+\infty[ telle que f(x_1)=f(x_2)=m.  

Il en résulte que pour tout x\in]0~;~+\infty[ l'équation f(x)=m,\ m>\text{e} admet exactement 2 solutions distinctes.

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 15:01

Pour mémoire

Fonction avec exponentielle et delta

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 19:10

Voilà je suis rentré chez moi et je peux donc me mettre à fond dedans en espérant le finir ce soir

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 19:12

Est-ce que je peux mettre alpha et bêta à la place de x1 et x2 ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 19:17

on ne s'occupe donc pas de m=e et m<e du au minimum c'est bien ça ?

hekla @ 25-01-2022 à 14:57

m>\text{e}

On va donc appliquer le TVI  deux fois,  la première fois sur l'intervalle ]0~;~1[ la seconde fois sur l'intervalle ]1~;~+\infty[

 f est une fonction dérivable, strictement décroissante sur ]0~;~1[ , \ m\in ]f(1)~; ~f(0)[ par conséquent
il existe une unique valeur x_1 \in]0~;~1[ telle que f(x_1)=m

 f est une fonction dérivable, strictement croissante sur ]1~;~+\infty[ , \ m\in ]f(1)~; ~+\infty[ par conséquent
il existe une unique valeur x_2 \in]1~;~+\infty[ telle que f(x_2)=m

Conclusion on a montré qu'il existait une unique valeur x_1 appartenant à ]0~;~1[ et une unique valeur x_2 appartenant à ]1~;~+\infty[ telle que f(x_1)=f(x_2)=m.  

Il en résulte que pour tout x\in]0~;~+\infty[ l'équation f(x)=m,\ m>\text{e} admet exactement 2 solutions distinctes.

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 19:32

Ce n'est pas ce que j'ai écrit

Il faut parcourir  \R #commentaire

La fonction admet un minimum en 1 qui vaut \text{e} ce qui permet de distinguer  3 cas :

Premier cas
Si m<\text{e} alors l'équation f(x)=m n'a pas de solution.

deuxième cas
Si m=\text{e}, alors l'équation f(x)=m admet une solution unique :\text{e}

troisième cas
Si m>\text{e}, on va donc appliquer le TVI  deux fois, la première fois sur l'intervalle ]0~;~1[ la seconde fois sur l'intervalle ]1~;~+\infty[ cas

premier intervalle

 f est une fonction dérivable, strictement décroissante sur ]0~;~1[ , \ m\in ]f(1)~; ~f(0)[ par conséquent
il existe une unique valeur x_1 \in]0~;~1[ telle que f(x_1)=m

second intervalle

 f est une fonction dérivable, strictement croissante sur ]1~;~+\infty[ , \ m\in ]f(1)~; ~+\infty[ par conséquent
il existe une unique valeur x_2 \in]1~;~+\infty[ telle que f(x_2)=m

Conclusion on a montré qu'il existait une unique valeur x_1 appartenant à ]0~;~1[ et une unique valeur x_2 appartenant à ]1~;~+\infty[ telle que f(x_1)=f(x_2)=m.  

Il en résulte que pour tout x\in]0~;~+\infty[ l'équation f(x)=m,\ m>\text{e} admet exactement 2 solutions distinctes.

Vous pouvez les appeler comme vous voulez à la condition que cela n'entraîne pas d'homonymies, or \alpha est déjà utilisé.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 19:43

Je dois donc répéter le processeur pour m=e et m<e et pour chaque intervalle ?

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 19:47

Si m\leqslant \text{e} , il n'y a rien d'autres à écrire que ce que j'ai mis.

On répond bien ainsi au nombre de solutions de l'équation.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 19:58

Donc le nombres de solutions de l'équation f(x)=m est de deux solutions

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:07

Non, car cela dépend de la valeur de m

C'est pour cela que l'on a distingué les 3 cas.  La réponse à la question 4 est donc tout ce qui est écrit à 19 : 32

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:09

Ah oui je vois donc pour le troisième cas j'applique ce que vous avez dit sur la TVI

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:12

Oui cela permet bien, dans le troisième cas, de justifier qu'il n'y a que 2 solutions  une entre 0 et 1 l'autre supérieure à 1.

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:20

C'est donc tout pour la question 4

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:23

Oui  19 :32

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:29

D'accord merci beaucoup pour la question 5 ma prof m'a conseillé de regarder à quelles conditions elles sont parallèles , donc même coefficient directeur

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:31

Absolument

coefficient directeur de la tangente=

coefficient de la droite d'équation y=-x

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:35

Il faut donc utiliser la dérivé de f

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:36

Donc f'(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:37

Bien sûr, puisque le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:42

Donc il faut que je prouve que a est la solution de l'équation e^x(x-1)+x^2=0
J'y vois la dérivée mais le x^2 n'est pas au même endroit

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:44

Pour l'instant j'ai calculé la dérive pour la question b)
Et pour c) je dois trouver la valeur de a non ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:48

g'(x)=e^x(x-1)+e^x+2x

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:49

Répondez aux questions dans l'ordre

droites parallèles   même coefficient directeur  

\dfrac{\text{e}^{x}(x-1)}{x^2}=-1

réduction au même dénominateur

\text{e}^{x}(x-1)+x^2=0

Si \alpha est l'abscisse de A point en lequel la tangente est parallèle à la droite d'équation y=-x alors il est bien solution de \text{e}^{x}(x-1)+x^2=0

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:50

Oui mais simplifiez

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:54

c'est la réponse finale ?

hekla @ 25-01-2022 à 20:49

Répondez aux questions dans l'ordre

droites parallèles   même coefficient directeur  

\dfrac{\text{e}^{x}(x-1)}{x^2}=-1

réduction au même dénominateur

\text{e}^{x}(x-1)+x^2=0

Si \alpha est l'abscisse de A point en lequel la tangente est parallèle à la droite d'équation y=-x alors il est bien solution de \text{e}^{x}(x-1)+x^2=0

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 20:54

hekla @ 25-01-2022 à 20:50

Oui mais simplifiez

Je trouve e^x/x +2x ?

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:03

Non il n'y a pas de dénominateur

\text{e}^x(x-1)+\text{e}^x+2x

on développe  x\text{e}^x-\text{e}^{x}+\text{e}^x+2x

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