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Fonction ayant un logarithme continu

Posté par
Kernelpanic 11-08-19 à 12:42

Bonjour à tous,

quelque chose me turlupine dans une démonstration de mon livre. J'introduis déjà un homéomorphisme qui sera utilisé par la démonstration :

X = ]0 ; 2\pi[ ~~~ ; ~~~ Y = \{ z \in \C ; |z| = 1 ~et~ z \neq 1\} ~~~ ; ~~~ h(z) = e^{iz}

Maintenant voici le théorème et sa démonstration.

"Soit X un espace topologique et f : X \to \Gamma continue non surjective. Alors, il existe g : X \to \R continue telle que f = e^{ig} (en d'autres termes, f a un logarithme continu). Aparté : le livre ne précise pas ce qu'est \Gamma (j'ai regardé partout, même dans la rubrique Notations au départ ; je suppose en lisant la suite que c'est une partie de \C).

Démonstration.

Supposons d'abord que f évite la valeur 1 \in \Gamma ; alors g = h^{-1} \circ f est une application continue de X dans ]0 ; 2\pi[, donc de X dans \R, telle que e^{ig} = h \circ g = f. Supposons ensuite que f évite la valeur e^{i\alpha} \in \Gamma ; alors f e^{-i\alpha} évite la valeur 1, donc il existe g_0 : X \to \R continue telle que fe^{-i\alpha} = e^{ig_0} ; d'où f = e^{ig} avec g = \alpha + g_0."

Première question : dire qu'une fonction (ou application) a un logarithme continu veut dire qu'on peut l'exprimer sous la forme ci-dessus (avec l'exponentielle) ? Je n'avais jamais rencontré cette formulation, c'est pour ça que je suis un peu surpris.

Seconde question (et la vraie) : dans la première partie de la démo, on suppose que f évite 1 dans \Gamma : ok. Si je prends par exemple \Gamma = \C \backslash Y, il n'y a pas un problème de définition pour la fonction g = h^{-1} \circ f ? Quelque chose m'échappe sûrement, mais je n'arrive pas à voir quoi...

Merci d'avance pour vos réponses !

Posté par
lafol Moderateurre : Fonction ayant un logarithme continu 11-08-19 à 15:18

Bonjour
Souvent la lettre gamma est là pour représenter un cercle (première lettre de cercle, tout comme delta représente bien souvent une droite). Je n'ai pas tout décortiqué mais ce ne serait pasY =Gamma privé de 1 ?

Posté par
Kernelpanicre : Fonction ayant un logarithme continu 11-08-19 à 15:30

Bonjour lafol, merci de ta réponse.

En effet, Y comme défini au départ représente bien le cercle unité privé de 1. Je ne connaissais pas cette notation, généralement en Analyse (ou Algèbre...) on écrivait "S1" ou quelque chose du genre...
En effet, si on considère que Gamma est le cercle unité (et je pense que tu as raison, c'est bien le cercle unité ici) alors tout est cohérent (le fait que dans le deuxième partie de la démonstration, on ne prend que des complexes de module 1 prouvant qu'ils se situent sur le cercle unité).

Attendons peut-être l'intervention d'autres personnes, mais je pense que tu m'as apporté la solution à ce questionnement.

Merci beaucoup, passe une bonne journée !

Posté par
WilliamM007re : Fonction ayant un logarithme continu 11-08-19 à 16:54

Bonjour,

J'ai l'impression qu'il s'agit du livre de Hervé Queffélec. Si c'est le cas, il définit \Gamma dans la rubrique "Notations" au début du livre, page XIII. Il s'agit du cercle unité.

Posté par
Kernelpanicre : Fonction ayant un logarithme continu 11-08-19 à 16:59

Bonjour WilliamM007, en effet c'est bien le cas... il serait peut-être temps que je change mes lunettes...

Citation :
(j'ai regardé partout, même dans la rubrique Notations au départ


j'ai honte...

Bonne journée


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