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Fonction Beta

Posté par
FerreSucre 07-05-23 à 13:35

Bonjour ! Je suis tombé par hasard sur une integrale hier qui utilisait une propriété de la fonction Beta que je ne connaissais pas du tout (j'ai découvert la fonction), je ne connaissais seulement le classique gamma(x), et ducoup je m'intéresse un peu à elle !

Je cherche un peu à remontrer toute les équations fonctions fonctionnelles de Beta, donc j'ai montré qu'elle était symétrique (simple forcément).

J'ai montré ça :

B(x,y+1) = \dfrac{y}{x+y}B(x,y)

Après quelques galères alors que c'était encore assez basique.

Et j'aimerai montrer une autre propriété qui m'intrigue :

B(x,y)B(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x\sin(\pi y)}

Mon premier réflexe pour tenter, a été d'utiliser :

uv = \dfrac{1}{4}((u+v)²-(u-v)^2)

Avec u = B(x,y) et v = B(x+y,1-y) mais sans suite, je ne vois pas quoi faire avec u+v en développant…

Ou peut-être que vu le résultat c'est une méthode en dehors de ce que je connais avec le théorème des résidus encore ..
Si vous pouviez m'aiguiller merci !

Posté par
jarod128re : Fonction Beta 07-05-23 à 14:40

Bonjour. C'est immédiat en utilisant le lien avec la fonction Gamma.

Posté par
FerreSucrere : Fonction Beta 07-05-23 à 15:06

Mmh je vois ! J'ai fait ce que tu m'as dit et j'ai regardé un peu la fonction gamma sur Wikipedia et j'ai après développement :

B(x,y)B(x+y,1-y) = \dfrac{\Gamma(y)\Gamma(1-y)}{x}

Reste à montrer que :

f(z) = \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}

J'ai vu qu'une petite ligne de Wikipedia disait que pour le démontrer il fallait montrer que f était 2-periodique, ce que j'ai fais. Et qu'elle avait les mêmes pôles et résidus que \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}.

Ceci dit, comment trouver qu'il fallait comparer notre fonction f à  \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}. ? Est-ce par intuition que ça aurait été trouvé ou par raisonnement petit à petit ?

Posté par
FerreSucrere : Fonction Beta 07-05-23 à 15:20

J'avais appris que pour une fonction qui possède un pôle en a d'ordre n on a :

Res_a(f) = \dfrac{1}{(n-1)!}\lim_{z \to a} (\dfrac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(z-a)^nf(z))

Donc en supposant qu'en 0, la fonction gamma est un pole de degré 1 on obtient :
Comme f est 2-periodique on l'étudie seulement sur [0;2[, un seul pôle ducoup :

Res_0(f) = \dfrac{1}{0!}\lim_{z \to 0}z\Gamma(z)\Gamma(1-z) = 1

Et de même pour :  \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}. On trouve un residu de 1

Bon j'ai pas abordé l'analyse complexe encore donc haha, mais je suppose que si une fonction a les mêmes pôles et même residus alors elles sont égales ?

Posté par
FerreSucrere : Fonction Beta 07-05-23 à 22:32

De retour, j'ai beaucoup d'aide par quelqu'un d'autres, donc j'ai pu avoir mes réponses et soucis que j'ai eu !

Si deux fonctions qui ont les mêmes pôles, même résidus en ces pôles et dont la différence f-g est une fonction entière sur C c'est à dire holomorphe et bornée alors on a f = g ?

C'est ce qu'on m'a dit j'aimerai avoir des avis ?

Posté par
FerreSucrere : Fonction Beta 07-05-23 à 22:41

Ah non autant pour moi ! C'est le Théorème de Liouville.. fonction entière qui est bornée alors elle est constante et f = g + constante ! Bon bein j'aurais vu des choses aujourd'hui au moins …


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