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Niveau Licence Maths 1e ann
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fonction C1 et différentiabilité

Posté par
dynamo
04-11-13 à 10:45

Bonjour,

Soit I:\mathsbb \R^n\{0}  \mathsbb \R^n l'application définie par I(x) = \frac {x}{||x||^2} où ||.|| est la norme euclidienne.

1) Montrer que I est de classe C^1

2) Montrer que si  a \in \mathsbb \R^n\{0} vérifie ||a||=1, alors DI(a) est la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan orthogonal à a.
_______

On a que I(x)=\frac{x}{<x,x>}
Pour la question 1) j'ai d'abord pensé à calculer les dérivées partielles, puis en regardant la deuxième question je me suis dit que c'était plus judicieux de trouver la différentielle et de montrer sa continuité.

I(x+h)-I(x)=\frac{x+h}{2<x,h> + <x,x> + <h,h>} - \frac{x}{<x,x>}

Et là je suis bloqué.

Merci de votre aide.

Posté par
ThierryPoma
re : fonction C1 et différentiabilité 04-11-13 à 10:57

Bonjour,

Comment est définie exactement ta fonction ? Peux-tu préciser ? Je précise que je le vois, mais je ne sais pas si toi tu le vois...

Thierry

Posté par
Camélia Correcteur
re : fonction C1 et différentiabilité 04-11-13 à 11:04

Bonjour

En fait ça dépend un peu de ce que tu sais.

La méthode la plus rapide reste d'écrire les fonctions coordonnées et de calculer les dérivées partielles.

Sinon...

Une application bilinéaire est C^{\infty}.

Alors tu peux décomposer ta fonction I en faisant intervenir (dans le bon ordre)

(\lambda,v)\mapsto \lambda v de \R\times \R^n dans \R^n

x\mapsto (x,x) de \R^n dans \R^n\times \R^n

(u,v)\mapsto < u, v > de \R^n\times \R^n dans \R

w\mapsto \dfrac{1}{w} de \R^* dans \R

Si tu connais la différentielle d'une application bilinéaire, tu dérives tout ce bazar comme des fonctions composés.

Enfin, à partir de ton écriture de I(x+h)-I(x) on peut y arriver, en réduisant au même dénominateur et en subodorant la partie linéaire, mais ce n'est pas très drôle, et après tout on te demande une explicitation uniquement pour ||a||=1

Posté par
dynamo
re : fonction C1 et différentiabilité 04-11-13 à 11:06

Je ne comprends pas ce que vous voulez que je précise?
Peut-être dire que la fonction définit un vecteur de [tex]\mathsbb \R^n[/tex ]?

Posté par
dynamo
re : fonction C1 et différentiabilité 04-11-13 à 11:27

J'ai essayé la méthode de la fonction coordonnée, mais je n'arrive pas à calculer les dérivées partielles, je ne sais pas comment faire avec le produit scalaire.
Je vais essayer de décomposer I

Posté par
Camélia Correcteur
re : fonction C1 et différentiabilité 04-11-13 à 11:32

Là je ne comprends pas!

Tu ne sais pas dériver \dfrac{x_k}{x_1^2+...x_n^2}?

Posté par
dynamo
re : fonction C1 et différentiabilité 04-11-13 à 11:35

ah si bien sur je sais le faire, je ne sais pas où j'avais la tête.
Merci



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